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秦汉时期普通受教育者的数学水平

时间:2021年11月13日 分类:文学论文 次数:

摘要:结合传世文献和出土算术类简牍,证明秦汉时期普通受教育者的数学知识以九九乘法为主,会简单的四则运算。在此基础上,借助算筹,他们可以实现稍微复杂的整数乘除运算。岳麓秦简《数》、张家山汉简《算数书》、北大简《算数书》和《九章算术》等数学文献,不代表

  摘要:结合传世文献和出土算术类简牍,证明秦汉时期普通受教育者的数学知识以九九乘法为主,会简单的四则运算。在此基础上,借助算筹,他们可以实现稍微复杂的整数乘除运算。岳麓秦简《数》、张家山汉简《算数书》、北大简《算数书》和《九章算术》等数学文献,不代表普通受教育者的数学水平。当需要用到更深的知识时,普通受教育者往往采用套用算题的方法,而不是深入学习。

  关键词:普通受教育者;数学水平;九九乘法

普通教育论文

  本文想要探讨的问题是:在秦汉时期,普通受教育者的数学水平是什么样的?岳麓秦简《数》、张家山汉简《算数书》、清华简《算表》、北大简《算数书》等出土数学文献,是否反映了普通受教育者的数学水平?本文讨论的普通受教育者,是指受过基础教育的人,并非文盲,也并非专业研习数学的学者。考虑到秦汉时期受教育者的比例不会很高,本文所指普通受教育者,在人口中的比例也不会很高,但却会是所有受教育者中的大多数。

  一、秦汉时期普通受教育者的数学知识推测

  学校教育,是普通受教育者获得数学知识的最重要的途径,可以在很大程度上体现大多数普通受教育者的数学水平。因此,要解答这个问题,首先需要了解秦汉普通受教育者的数学教育。

  (一)西汉中后期到东汉的数学教育研究汉代教育史的学者们普遍注意到,《四民月令》对汉代普通受教育者所学知识有较为详细的介绍,其文为:(正月)农事未起,命成童(本注:谓十五以上至二十)以上入大学,学五经;师法求备,勿读书传。研冻释,命幼童(本注:谓十岁以上至十四)入小学,学篇章(本注:谓《六甲》、《九九》、《急就》、《三仓》之属)。[1](P9)(八月)暑小退,命幼童入小学,如正月焉。[1](P60)(十月)农事毕,命成童以上入大学,如正月焉。[1](P68)(十一月)研水冻,命幼童读《孝经》、《论语》、篇章、小学。[1]

  (P71)从中可以看出,当时的教育分为“大学”和“小学”两种。“大学”学的是五经,“小学”学的是《六甲》、《九九》、《急就篇》、《三仓》、《论语》、《孝经》等。从这段记载中,可见普通受教育者在10到14岁的“小学”期间,集中学数学,所学内容主要为《九九》。九九是先秦秦汉时期较为常见的概念,又称九九数、九九之数、九九之术、九九歌等,即今日的九九乘法表(顺序与今日的九九乘法表相反,且缺少跟1有关的9条)。

  由于乘法是以加法为基础的,因而学会九九的人,应该也会简单的整数四则运算。九九在当时有两个特征:基础,重要。先说九九的基础地位。《韩诗外传》、《说苑》等文献都曾记载,齐桓公曾经广泛招募人才,齐国有一位“东野”边鄙之人,以九九求见。“东野”一词,值得注意。齐国西边与鲁国接壤,中间为首都,均属于经济、文化较为发达的地区,唯有东部较为落后。

  这应该就是古人喜欢用“东野”、“齐东野语”之类的词,来形容粗俗之人的原因。所以,这位“东野”边鄙之人,实际上代表了齐国落后地区的小有知识之人,所学较为浅薄。齐桓公当然知道这一点,直接指出九九是非常基础的知识,不足以被接见,边鄙之人也自认为“夫九九,薄能耳”。[2](P100-101)[3](P187-188)这和《四民月令》的记载也是一致的:九九是幼童所学,受过一定教育的人都会,所以被认为“薄能”,不足见。从另一方面来说,九九又很重要。比如,《管子·轻重篇》称:“伏羲……作九九之数以合天道,而天下化之。”[4](P1507)《周髀算经》称:“数之法出于圆方,圆出于方,方出于矩,矩出于九九八十一。”[5]

  (P1-2)九九被推崇到“合天道”、算数起源的高度,这是因为九九是进行筹算的基础,是整个数学的基础,也是因为当时算数和术数联系非常紧密,是究天人之际的基础知识。考虑到当时人们的精神信仰,后者恐怕是更为重要的。《四民月令》反映的显然是西汉中后期尊儒以后的情况。秦、西汉前期并不会以《孝经》、《论语》、五经等儒家经典为学习的主要内容。那么,这段记载能否说明秦、西汉前期甚至秦朝、战国时期的情况呢?不管朝廷是以法家思想、黄老思想还是儒家思想作为官方指导思想,识字、识数这种最基础、又和官方指导思想没有冲突的教育,应该不会有本质上的变化。也就是说,《四民月令》中记载的识字和九九教育,很可能是贯穿整个秦汉时期的。当然,还需要更多的证据,来进一步证明这一点。

  (二)出土秦汉数学文献中所体现的数学教育

  出土秦汉简牍中多有九九简,学者们已经有过不少论述。值得注意的是,这其中体现了通过自学获得数学知识的情况。邢义田先生指出,汉代西北竹简里有不少关于九九乘法表的习字简,这表明吏卒们“能书、知计算和知律令的能力并不是担任这些职务以前就必然具备,而是在担任职务的过程里逐渐学会的”,而九九乘法表“无疑是最基本的……算书。”[6](P585-587)这说明对于秦汉时期的普通受教育者来说,九九乘法表是数学自学的主要内容。通过分析反映了秦汉之际数学成就的《数》、《算数书》等出土文献的内容,也可以得出同样的结论。

  比如,“《算数书》是一部数学问题集”,[7(]P12)看似奇怪的是,这部问题集却不是以问题开头的,而是以简单的分数乘法和整数乘法开始:相乘寸而乘寸,寸也;乘尺,十分尺一也;乘十尺,一尺也;乘百尺,十尺也;乘千尺,百尺也。半【分寸】乘尺,廿分尺一也;三分寸乘尺,卅分尺一也;四分寸乘尺,四十分尺一也;五分寸乘尺,五十分尺一也;六分寸乘尺,六十分尺一也;七分寸乘尺,七十分尺一也;八分寸乘尺,八十分尺一也。一半乘一,半也;乘半,四分一也。

  三分而乘一,三分一也;乘半,六分一也;乘三分,九分一也。四分而乘一,四分一也;乘半,八分一也;乘三分,十二分一也;乘四分,十六分一也。五分而乘一,五分一也;乘半,十分一也;乘三分,十五分一也;乘四分,廿分一也;乘五分,廿五分一也。乘分之术曰:母相乘为法,子相乘为实。乘一乘十,十也;十乘千,万也;十乘万,十万也;百乘万,百万;千乘万,千万。一乘十万,十万也;十乘十万,百万。一乘百万,百万;十乘百万,千万。半乘百万,五十;半乘千,五百;半乘万,五千。[7](P37-38)《算数书》之所以先不讲算题,而是要讲整数、分数乘法,是因为,读者需要获得某些基础知识,才能进行相关的学习与应用。

  这些乘法运算没有一条是九九乘法,但又和九九具有一定的关联,难度也差不多,这显然是因为《算数书》默认读者已经会了九九,要在九九的基础上进行一定的知识扩充——正因如此,它才写了“一乘十,十也”、“一乘十万,十万也”这种简单的整数乘法,却不写九九乘法。正因如此,它才会告诉读者,二分之一乘以三分之一,结果为六分之一,而不必写“二三而六”。由此可见,九九是一般受教育者都会的知识,至于九九之外的数学知识,哪怕是跟九九有关、难度也差不多,也不一定会被普通受教育者掌握。所以,《算数书》才要在九九的基础上进行知识扩充。

  《数》也存在类似的情况,而且更能说明问题。由于《数》的编排次序已经被打乱,无法恢复原貌。但明显可以看到一些在九九基础上,进行简单引申的内容:乘三分,二三而六,六分一也;半乘半,四分一也;四分乘四分,四四十六,十六分一也;少半乘一,少半也。三分乘四分,三四十二,十二分一也。三分乘三分,三三而九,九分一也;少半乘十,三又少半也;五分乘六分,五六卅,卅分之一也。五分乘五分,五五廿五,廿五分一也。

  四分乘五分,四五廿,廿分一也。[8](P74-75)《数》中出现了九九的部分内容。但是,这些算题虽然涉及到了九九,其目的却并不是为了讲九九,而是为了讲分数乘法。这段引文实际上是说:×=?读者不是学过2×3=6吗?在此基础上扩展一下,就会知道×=。×=?读者不是学过4×4=16吗?在此基础上扩展一下,就会知道,×=。以此类推。通过上述分析,可以知道:《数》虽然涉及到了九九,但它的本意并不是为了讲九九,而是为了在九九的基础上,引导读者学会分子为1的最简单的分数乘法。这种教学方法无疑是非常简单有效的。这就是《数》中的九九不全的原因。

  这也说明,《数》的编写者默认读者已经会了九九,所以才在九九的基础上进行引申教学。分析《九章算术》,也可以得出相同的结论。《九章算术》的开篇部分的前两道算题是:今有田广十五步,从十六步。问:为田几何?答曰:一亩。又有田广十二步,从十四步。问:为田几何?答曰:一百六十八步。(《九章算术》卷一《方田章》)[9](P11)“广”即为宽度,“从”同“纵”,即为长度。汉制一亩为二百四十步(实际上应该是二百四十平方步,古人在平方单位的用词方面,有时不是很严格)。

  这两道算题,实际上是想告诉读者:15×16=240,12×14=168。这么做,是为了帮助读者在自己现有知识水平的基础上,进行简单的知识扩充,带领读者逐步深入到更高的数学层次。那么,《九章算术》假定读者需要具有什么样的数学知识呢?《九章算术》中,并没有出现九九乘法的内容,而这两条整数运算只是比九九乘法略难一点。这也表明:《九章算术》默认读者会九九乘法和简单的四则运算——九九乘法和整数的四则运算规则是孩童时期学习的东西,过于基础,不需要讲解。

  (三)小结

  上面的讨论,既是纵向的,也是横向的。说是纵向的,是指《数》反映的是秦代的情况,《算数书》反映的是秦、西汉初期的情况,《四民月令》反映的是西汉中期以后至东汉的情况,《九章算术》一般认为成书于两汉之交,反映了此前的情况。它们涵盖的时间范围分别是:秦代、秦和西汉前期、西汉中后期到东汉时期、东汉前,将它们连起来,恰恰是一条较为完整的时间链。说是横向的,是指得出结论的材料种类多种多样,包括传世史料、传世数学文献、出土数学文献等,这些不同的材料都指向同一个结论,那么这个结论的可信性,无疑就大大增强了。

  将这些纵向的、横向的分析整合起来,就可以得出一个较为可靠的初步结论:秦汉时期,普通受教育者的数学教育,限于九九之类和基础的四则运算,总体来说,他们的数学知识并不复杂。这个结论和苏俊林先生通过分析走马楼吴简《嘉禾吏民田家莂》、仓受米牍中的数值计算,得出的结论——“孙吴时期……基层吏民的数值计算能力可能有整体偏低的倾向”[10](P327-348)——基本一致(只是苏先生的研究侧重于简牍和孙吴时期)。

  二、秦汉时期普通受教育者的计算能力推测

  明确了普通受教育者的数学教育,紧接着的一个问题就是:只会九九乘法和基本的整数四则运算,数学能力可以达到什么样的程度?假设一个人具备以下知识:(1)熟练背诵九九,(2)会0到9的整数加减法,(3)懂得算筹整数四则运算的基本规则。著名数学史家李俨先生在《中国算学史》一书中,对算筹有如下总结:“吾国古代算数用筹,初称为策,算书多称为算。汉、唐以后则多以筹、筹算、筹策、算筹诸名互用。而宋代以后,俗称为算子。”[11](P59)算筹是当时最主要、最常见的计算工具,也是普通数学学习者所掌握的计算工具。

  下面,我们来看一下,如果一个人具备了这三种知识,他可以达到什么样的数学水平。根据《孙子算经》、《夏侯阳算经》的记载,会发现他在整数计算方面的数学知识并不是很低,可以处理比较复杂的整数乘除法运算。先看整数乘法,《孙子算经》中的整数乘法运算规则是:凡乘之法,重置其位。上下相观,上位有十步至十,有百步至百,有千步至千。

  以上命下,所得之数列于中位。言十即过,不满自如。上位乘讫者先去之。下位乘讫者则俱退之。六不积,五不只。上下相乘,至尽则已。[12](P2)这段记载其实比较简单,复杂的是为了准确定位数位而进行的移位。简单说,计算整数乘法时,要将乘数从最高位往下,不断地乘以被乘数,一直到乘完为止。假设,要计算56×78,就要将乘法分解成如下步骤:(1)5×7=35,5×8=40。现在计算的时候,考虑到数位,需要在后面补充若干个0,在算筹中无需补0,这是因为算筹中的数字位置是错开的,空格就表示0。明白了这一点,计算就会变得特别容易。

  (2)6×7=42,6×8=48。(3)结合数位,将这些结果相加。再来看整数的除法运算。《孙子算经》中的整数除法运算规则是:凡除之法,与乘正异。乘得在中央,除得在上方。假令六为法,百为实。以六除百,当进之二等。令在正百下,以六除一,则法多而实少,不可除。故当退就十位。以法除实,言一六而折百为四十,故可除。若实多法少,自当百之,不当复退。故或步法十者置于十位,百者置于百位(头位有空绝者,法退二位)。余法皆如乘时。实有余者,以法命之。以法为母,实余为子。[12](P2)整数除法与今天的计算方法几乎完全一样,都是从左到右除。差别只是算筹运算需要应用到移位。

  《孙子算经》认为,这是乘法计算的逆运算,基本相同。通过上述分析,可以看出,运用算筹进行的整数乘除运算都比较简单。整数乘法实际上,是整数加法和九九乘法表的混合运算;整数除法实际上,是整数减法和九九乘法表的混合运用。涉及的知识并不复杂。

  因此,可以认为,秦汉时期普通受教育者,在算筹的帮助下,是可以解决比较复杂的整数乘除运算的。由此可见,秦汉时期的一名普通受教育者,只要能够熟练背诵九九乘法表,会0到9的整数加减法,懂得算筹四则运算的基本规则,就能进行各种各样复杂的整数四则运算。这些基本上能够满足他的日常生活需要。当然,正如上文提过的,《算数书》、《数》都是从简单的分数计算开始的。这说明,分数计算可能并非人人都能掌握的基础知识。这就在一定程度上限制了普通受教育者的数学水平。

  三、数学知识不够用怎么办

  既然秦汉时期普通受教育者的数学知识以九九为中心,那么就会有一个问题:这些知识够用吗?如果不够用,那要怎么办?邢义田先生已经对此有所说明,那就是在需要用到的时候,再进行学习。苏俊林先生也说:“对于基层吏民而言……算术多为自学。”上文对《算数书》不记录九九乘法和整数的四则运算的分析,也说明了同样的道理。

  另外,《算数书》并非成体系的数学著作,而是杂抄之作。由此想到的问题是:普通受教育者是如何使用《算数书》等数学著作的?如果是当成学习的工具,那么部分自学者的数学水平可能会比较高;如果只是当成套用的工具,在现实生活中有需求的时候,进行简单的套用,那么就并不影响前面的结论。通过研究发现,《算数书》抄的时候粗枝大叶,没有进行仔细分辨。

  四、略论秦汉时期受教者的数学水平的三个层次

  接下来在前面分析的基础上,对秦汉时期运用数学的受教育者的数学水平,进行简单的分类。秦汉时期的数学知识主要体现在《九章算术》、《算数书》、《数》等书中。学者们一般认为,这些书(尤其是《九章算术》)基本上代表了秦汉数学的最高水平。但是秦汉数学的最高水平,或者说是秦汉数学最高深的应用,并非《九章算术》为代表的生产生活中的实用数学,而应该是天文历法。理由如下:

  1.我国古代数学的产生和发展与天文历法、农业有密切联系。数学家最被统治者看重的在于天文历法,数学最高深的应用在天文历法,数学水平最高的人应该也是懂天文历法的人。《汉书·律历志》说数是管理天文历法的“羲和掌之”,《汉书·艺文志》里没有专门的数学类,而是把数学归入历谱类,原因可能都正在于此。古人对历数的评价也是极尽幽隐、微妙,比如刘炫说:“天文律历,穷覈微妙。”[14](P1720)这是普通的数学应用所达不到的。

  2.检索史籍可知,秦汉时期形容数学水平高深的数学家,用词大都和历法有关,比如张苍“善用算律历”,《汉书·艺文志》说他著有《张苍》16篇,归入阴阳家,又说“阴阳家者流,盖出于羲和之官”。[13(]P1733-1734)这些都说明张苍所长在于和天文历算结合的数学。比如著有《许商算术》的“(许)商善为算,著《五行论历》”,[13(]P3604)班固在总结许商的成就时,强调《五行论历》,而不提《许商算术》,说明天文历法类数学,比应用型数学更重要。

  比如郑玄擅长《三统历》。我在检索资料的过程中发现,古人所说擅长“九数”、《九章算术》者,几乎全都是指擅长历法的人。这似乎说明整个古代,数学最重要、最高深的应用都是天文历法方面,擅长天文历法才能被称为擅长数学。综上所述,初步将秦汉时期受教育者的数学水平分为三个层次:普通的受教育者,学习九九乘法表和基本的四则运算;具有一定水平的数学家,研究数学在日常中的应用;水平最高的数学家,关注天文历算。当然,由于材料的缺乏,这个结论需要完善的地方还很多,不足之处,敬请指正。

  参考文献:

  [1(]东汉)崔寔著,石声汉校注.四民月令校注[M].北京:中华书局,2013.

  [2]韩婴撰,许维遟校释.韩诗外传[M].北京:中华书局,1980.

  [3(]西汉)刘向撰,向宗鲁校证.说苑[M].北京:中华书局,1987.

  [4]黎翔凤撰,梁运华整理.管子校注[M].北京:中华书局,2004.

  [5(]东汉)赵爽,李淳风注.周髀算经[M].北京:中华书局,1985.

  [6]邢义田.治国安邦:法制、行政与军事[M].北京:中华书局,2011.

  [7]彭浩.张家山汉简《算数书》注释[M].北京:文物出版社,2001.

  [8]朱汉民,陈松长主编.岳麓书院藏秦简(贰)[M].上海:上海辞书出版社,2011.

  作者:衣抚生

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