拓扑学的性质及在建筑形态中的应用

　　摘要：本文着重介绍拓扑学的性质，尤其是阐述莫比乌斯环和克莱因瓶这两种曲面在建筑设计中的应用。期望能够用拓扑相关理论指导现代建筑形态发生，以促进建筑形态学的发展。

　　Abstract：This article focuses on the nature of the topology, in particular, is described Mobius Strip and Klein due to bottle the two surfaces in architectural design. Look forward to the topological theory to guide the modern architectural form, in order to promote the development of architectural morphology.

　　关键字：拓扑学 建筑形态 莫比乌斯环 克莱因瓶

　　中图分类号：O189.3 文献标识码：A 文章编号：

　　Keywords： topology architectural form Mobius Ring Klein bottle

　　正文：

　　在现代生活节奏日益加快，并伴随着信息科学的飞速发展，人们对事物的感知方式逐渐发生了变化，这种变化以丰富多彩的图像为标志。另外，建筑形式的拓扑化引导建筑设计迈向一种新的、引人入胜的可塑性，引导类似巴洛克建筑和表现主义建筑的塑性美学。其次，随着欧几里得几何学这一影响深远的的数学理论被瓦解，非欧几何学逐渐被人们接受，拓扑几何学也逐渐成为建筑表皮生成的主要理论基础，并伴随表皮的独立逐渐成为建筑师表达建筑形态的主要手段之一。

　　1. 拓扑学的概念

　　拓扑学是由庞加莱创立并在20世纪繁荣起来的一个数学分支，往往被描绘成“橡皮膜几何学”，但它更适合被定义为“连续性的数学”。拓扑学是研究几何对象在连续变换下保持不变性质的数学。所谓连续变换“也叫拓扑变换”就是使几何学对象受到弯曲、压缩、拉伸、扭转或它们的任意组合，变换前后点与点相对位置保持不变。大小和形状与拓扑学无关，因为这些性质在拉伸时就会发生改变。拓扑学家们只问一个形状是否有洞，是否连通，是否打结。他们不仅想象在欧几里得一、二、三维的曲面，而且想象在不可能形象化的多维空间中的曲面。拓扑学研究逐渐的、光滑的变化，它属于无间断的科学，关心的是定性而不是定量问题，重点则是连续变换。

　　如今，在拓扑变换下，拓扑学主要研究拓扑空间的不变量和不变性质。拓扑学对于形态艺术具有相互促进的作用，从而，诸多建筑师将其引入到建筑之中。

　　2.拓扑学的性质

　　拓扑学的性质有哪些呢?首先来介绍拓扑等价，这是一个比较容易理解的拓扑性质。

　　一个几何图形任意被“拉扯”，只要不发生粘接和割裂，可以做任意变形，这就称为“拓扑变形”。两个图形通过“拓扑变形”可以变得相同，则称这两个图形是“拓扑等价” 。如图1所示，1、2、3同构，4和1、2、3不同构。

　　拓扑几何就是研究几何图形在一对一连续变换中保持不变的性质。不考虑几何图形具体的面积、尺寸、体积等具体形状和度量性质。

　　在拓扑变换中封闭围线的“内”和“外”的区分不变，边线上点的顺序不变。图2中圆、三角形、方形和任意封闭曲线同构，图3中四个图形不同构：封闭曲线，开口曲线，有一个三叉点的开口曲线，有一个四叉点和两个封闭域的封闭曲线。

　　在拓扑变换中。端点、三叉点、四叉点、封闭域数量不变。球和立方体同构，与轮胎不同构。在拓扑学里，不讨论两个几何图形全等的概念，但我们讨论拓扑等价的概念。比如，尽管三角形、方形和圆形的大小、形状不同，但是，在拓扑变换下，它们都属于等价图形。

　　在一个球面上任选一些点，再用不相交的线把它们逐个连接起来，这样，球面就被这些线分成若干个块。在拓扑变换下，点、线、块的数目仍旧和原来变换前的数目保持一致，这就是拓扑等价。一般地说，对于任意形状的闭曲面，只要不把曲面割破或撕裂，它的这种变换就是拓扑变换，就存在拓扑等价。

　　应该指出，环面不具有这个性质。把环面剖切开，它没被分成许多个块，只是变成了一个弯曲的圆桶形，鉴于此种情况，我们就说球面不能够拓扑的变成环面。所以球面和环面在拓扑学中是不同的曲面。

　　直线上的点和线的顺序关系、结合关系，在拓扑变换下保持不变，这是拓扑性质。在拓扑学中，曲线和曲面的闭合性质也称为拓扑性质。

　　在拓扑学中，立方体与球是等价的，可以经过连续变换而得到。为了证明两个图形拓扑等价，需要找到一个拓扑(连续)变换，使其中一个图形变为另一个。而为了证明两个图形不等价，则需找出某种图形所独有的拓扑性质。拓扑性质是在连续变换下保持不变的性质，不变性包括可定向性、边缘数、亏格和欧拉示性数。欧拉示性数是与曲面中“洞”有关的拓扑性质，环面、双环面(两个洞)、三环面(3个洞)的欧拉示性数分别是0、2、-4;拓扑性质与欧几里得形状与尺寸等表面空间性质不同，更本质地揭示出曲面与空间的特性。莫比乌斯环和克莱因瓶是拓扑曲面和空间的典型实例。

　　3.莫比乌斯环在建筑形态中的应用

　　通常我们讲的曲面、平面有两个面，就像一张白纸有两个面一样。但在1858年莫比乌斯(德国数学家1790～1868)发现了莫比乌斯曲面(莫比乌斯环图 图5莫比乌斯环

　　5)。我们把一个长方形纸条ABCD的一端AB固定，然后将另一端DC扭转半周后，再把AB和CD这两端粘合在一起，得到的曲面就是莫比乌斯环。 这种曲面因为只有一个面，因此就不能用不同的颜色来涂满。“莫比乌斯环”变成了拓扑学中最有趣的单侧面问题之一。莫比乌斯环的概念被广泛地应用到了艺术、建筑、工业生产当中。我们可以运用莫比乌斯环原理建造道路和立交桥，以避免车辆行人的拥堵。

　　坦白说，采用莫比乌斯环曲面的建筑设计方案，能够在同样大小平面中通过不同角度的“空间扭曲”让原有的空间在不同方向“延伸”，来获得更多的可用空间。

　　全新国家图书馆项目负责人托马斯·克里斯托弗森形容说：“国家图书馆的设计打破了传统建筑的造型特征，它让墙壁在不同的角度变化，时而是墙，时而是屋顶，时而成了地板，最后又变成了墙。”。

　　图6克莱因瓶

　　凤凰国际传媒中心项目建筑高度55米，总建筑面积6.5万平方米，位于北京朝阳区朝阳公园内。整栋建筑的设计逻辑是一个具有生态功能的外壳将具有独立维护使用的功能空间包裹在里面，两者之间形成了许多共享型公共空间，同时展现了楼中楼的概念。 在东西两个共享空间里，布置了景观性平台、连续的台阶、通天的自动扶梯和空中环廊，使整个建筑内部空间充满了活力和动感。更重要的是，这一建筑造型来源于“莫比乌斯环”，并与不规则的道路方向、转角以及朝阳公园形成和谐的关系。

　　4.克莱因瓶在建筑形态中的应用

　　克莱因瓶是一种复杂的数学概念，是指一种没有定向性和内外之分的立体环面。由菲利克斯·克莱因(德国数学家)提出的。克莱因瓶和莫比乌斯带非常相似。克莱因瓶的结构并不复杂，一个瓶子的底部有一个洞，首先延长瓶子的颈部，并且扭曲地插入瓶子的内部，然后和瓶子底部的洞连接起来。这个物体没有“边缘”，它的表面不会结束。克莱因瓶(如图6)是一个在四维空间中才能够真正表现出来的复杂曲面。

　　温莎斜屋是一座全球最具创意性的18座DIY建筑之一。这栋建筑的设计灵感就来源于克莱因瓶曲面，它看起来根本分不清楚哪里是外部，哪里是内部。当初，设计师的想法是能够在房子中间位置建造一个小型院落，以保证整栋房屋具有良好的通风效果。最终，这栋“ 克莱因瓶”结构房屋实现了设计师的初衷。

　　在建筑学领域，拓扑学对当代建筑理论的影响主要体现在研究建筑形态的拓扑性质和形态间的拓扑变换，分析建筑形体、表面、空间的拓扑结构，最终通过拓扑变换生成建筑形态。拓扑学对当今建筑界的影响表现在建筑形态上，同时建筑体量、空间、表皮的形态也正发生着巨大变化，也许会引起建筑学范式转换的变革。

　　参考文献：

　　【1】任军，《当代建筑的科学之维：新科学观下的建筑形态研究》东南大学出版社 2009-07-01