数学教育学报杂志投稿格式参考范文：新加坡数学问题解决教学的设计研究及其启示

　　1 问题提出

　　中国数学课程标准将增强学生解决问题的能力作为十分重要的课程目标，并提出了一些相关的教学建议 [1-2]。有研究发现，问题解决不仅可以帮助学生掌握数学概念与技能，还是一种有效的、能够促进理解和知识意义建构的认知方式 [3]。于是，数学问题解决也被当作一种教学方式，即通过数学问题引入教学内容并通过问题解决达到学习新知识的目的 [4]。在此，数学问题解决的过程就是数学化的过程，学习者以问题为基础，通过数学化来实现问题的解决，同时在问题解决的过程中，再创造 “自己的” 数学知识，从而实现数学化 [5]。不少研究者对这种教学的策略、设计和误区进行了研究和综述 [6-9]。另外还有一些研究者对数学问题解决策略的教学进行了探讨 [10-11]。由此可见，数学问题解决教学存在一些不同的类型，包括为了问题解决的数学教学、通过问题解决的数学教学和关于数学问题解决的教学 [12]。

　　2020 年以来，新加坡颁布并实施了新的中小学数学教学大纲 [13-20](以下简称 “大纲”)。“大纲” 强调，数学课程的中心是发展数学问题解决能力，这里的问题包括 “需要更深刻的洞察、逻辑推理和创造性思维的复杂和非常规任务”。“大纲” 接着指出：“一般的问题解决策略，例如 Polya 的问题解决四步骤和启发式的使用，对于帮助一个人系统有效地处理非常规任务非常重要。” 为此，“大纲” 在教学部分建议 “学生必须有机会解决非常规和不熟悉的问题，还必须学会如何系统地处理此类问题”。“大纲” 也建议 “评价应该关注学生应用所知解决问题的能力”，将 “能够制定解决非常规问题的策略” 作为评价的主要目标应该聚焦的 4 个方面之一。为了体现 “大纲” 的要求，新加坡逐年编写和出版了与之配套的数学教材。这些教材在栏目上有一些新的变化，比如初中 “新发现数学” 的普通学术类教材将 “问题解决过程和启发式” 这个栏目的名称改为 “问题解决任务”，且相关的内容呈现在各册教材某些章的末尾，而不是在上册教材的末尾出现。事实上，新加坡大纲和教材对数学问题解决的关注由来已久，这促使新加坡数学教育研究者对数学问题解决教学进行研究，而研究的重要成果也被 “大纲” 和教材采用。其中，比较有影响的是新加坡南洋理工大学国立教育学院数学与数学教育学术组现任负责人 Toh Tin Lam 主持的一项长达十余年的课题研究。在此，研究者试图回答两个问题：一是这项研究值得借鉴的地方有哪些?二是这项研究存在哪些不足之处?为此，研究者之一在博士生联合培养期间，对相关的论文和专著进行了比较全面的收集、整理和分析。下面先对这项研究的背景、过程和各个阶段的研究成果进行详细阐述，最后得出有关结论，希望对中国开展这方面的研究有所助益。

　　2 研究背景

　　从 20 世纪 90 年代开始，新加坡就将数学问题解决确定为中小学数学课程的中心主题，课程的主要目的就是发展学生解决数学问题的能力。同时，数学问题解决也被认为是数学学习的中心，强调在非常规的、开放的、真实的问题情境中获得和应用数学概念与技能。课程文件指出要在中小学数学课堂上教学数学问题解决的启发式。于是，新加坡利用国外资源和当地开发的资源在教学问题解决上对教师提供职前准备或专业发展的机会。新加坡数学教师也意识到问题解决的重要性并将这些资源中的启发式引入课堂。

　　然而，教师的问题解决教学只是在封闭问题中强化一些启发式 [21]。另外，问题解决成为一种与常规数学内容教学相分离的活动，而且主要在一个主题学完之后实施，在此才能遇见 “挑战性的问题”[22]。虽然国际比较研究 PISA 和 TIMSS 已经揭示新加坡在学校数学取得了很高的成就，但这些研究也注意到新加坡学生在解决不熟悉的问题上面相对较弱的表现。为了缩小新加坡课程愿景与实际的差距，课题组通过设计研究的方法对数学问题解决教学逐步进行设计、实施和改进。

　　3 研究过程与阶段

　　整个研究的过程分成两个阶段：第一个阶段是关于数学问题解决的教学，第二个阶段是数学问题解决教学的融入和推广。其中，第一个阶段涉及到一个教师专业发展项目，第二个阶段的 “融入” 包括通过数学问题解决的教学和为了数学问题解决的教学。

　　关于数学问题解决的教学，即在专门的课上教学数学问题解决的过程(含启发式)。由于 “问题解决” 中的问题是学生不熟悉的问题或非常规问题，不同于练习，需要运用问题解决的过程才能更好、更快地解决，因此课题组认为有必要先用专门的课使学生从整体上了解这个过程。课题组成立之前，已有部分成员在一所初级学院或高中进行了相关的设计，并在实施之后不断完善。2008 年课题组成立后，选择了一所学生水平比较高的完全中学(初中四年，高中两年，没有中考)的八年级进行正式的设计研究。他们结合学校和学生的实际对之前的设计进行了一定的修改，在对教师进行培训之后正式实施，并结合实施过程和效果进行修改，最后形成更新的设计。

　　基于对教师进行问题解决教学的困难的考察，在正式实施之前，课题组设计并实施了一个教师专业发展项目 [23]。他们一方面给予教师大量时间体验和反思数学问题解决，让教师 “认同” 数学问题解决的过程，并能自信地在自己的问题解决中尝试使用。所选学校的教师参加了 5 次专业发展活动，每次 1.5 小时。课题组的一名成员对他们进行培训，培训的方式与上述关于数学问题解决的教学设计基本相同。另一方面，他们给予教师机会观察如何开展关于数学问题解决的教学，并参与讨论如何将其纳入到自己的实践中。同一名培训师在 10 节 1 小时的课中对选择的部分九年级学生进行关于数学问题解决的教学。教学内容与对教师进行培训的内容相似，但节奏、语调和提出的用于讨论的问题都得调整，以适应学生的需要。在观察了第 1、3、5、6、8 和 10 节课之后，课题组与教师讨论，特别关注问题的适用性、回应学生对这些问题的反应以及教师在随后的实施中所需的调整。

　　数学问题解决教学的融入，即在常规课上进行数学问题解决的教学。数学问题解决教学的融入既可以出现在学习新的数学知识和技能的过程中，也可以出现在学习新内容之后，前者即通过数学问题解决的教学，后者即为了数学问题解决的教学。这两类教学都有助于复习和扩展关于数学问题解决的教学。课题组同样在融入之前进行了相关的设计，然后在上述同一所完全中学实施，并根据实施过程中出现的问题进行改进。

　　数学问题解决教学的推广，即在主流学校(这里指四年制初中)开展数学问题解决的教学。在第一阶段确认了关于数学问题解决的教学的可行性和有效性之后，课题组在一次由新加坡数学教师(超过 200 名)参与的研讨会上展示了研究发现。有 13 所学校表示愿意参加推广研究，最后确定在其中 3 所主流学校开展(从 2012 年开始)。课题组在推广之前结合每所学校的实际对之前的设计作了必要的修改，特别是对部分问题进行了调整，然后同样结合实施过程中出现的问题进行完善。

　　课题组认为任何数学问题解决的尝试都需要一个问题解决者可以参考的模型，特别是当他 / 她不能取得满意的进展的时候。好的问题解决者可能已经建立了他们自己的问题解决模型，然而一个明确的问题解决模型将是非常有用的。第一，没有问题解决模型的人可能会发现一个模型有助于调节他们问题解决的尝试;第二，即便是一个好的问题解决者也会发现较早介绍一个模型有助于其在数学发展上进步得更快。

　　为此，课题组将 Polya 的数学问题解决模型 [24] 作为设计的 “理论基础” 之一。他们将该模型表示成下面的过程：理解问题、拟定计划、执行计划和检查扩展，虽然是按先后顺序但也是可以倒回去的。其中第四步的 “回顾” 被更名为 “检查扩展”，包括检查答案或解法的合理性、寻求该问题的其它更好的解法、改编(改变问题的某些特征，比如改变一些数，改变一些条件)、扩展(扩展到更 “困难” 或范围更大的问题)和一般化(提出一个问题使得给定问题是其特例)，以更好地反映第四步的涵义。

　　该设计的另一个 “理论基础” 是 Schoenfeld 的数学问题解决框架 [25]。Schoenfeld 提出了影响问题解决的 4 个方面的因素：资源、启发式、控制、信念，他认为成功的问题解决不只是一些模型的运用，而至少是这 4 个因素的相互作用。

　　课题组在上述 “理论基础” 上进行了关于数学问题解决的教学设计，下面是其中几项主要的设计。

　　4 主要教学设计

　　4.1 课程设计

　　关于数学问题解决的教学共有 10 节数学实践课，每节课 55 分钟(或 1 个小时)。每节课都有特定的主题、具体的教学目标、任务和活动。为了有效达成教学目标，课题组建议教师首次上这种课的时候要尽量保证对每节课每个活动分配的时间。除第 1 节课和第 10 节课外，其它 8 节课大致分为两个部分。在第一部分，处理上一节课的家庭作业(解决一个问题)，并解释问题解决的某个方面，比如 Polya 模型中的某个阶段。在第二部分，集中讨论一个问题，即 “当天的问题”。因此，全班在每节课上只关注一个问题，且以两个学生组队进行合作解决。

　　4.2 实践学习单与 4 板展示设计

　　根据课题组的经验，学生一般不会运用 Polya 模型的 4 个步骤，也不会有意识地、有效地使用启发式，甚至那些能够解决给定问题的水平较高的学生一般也不会作出额外的努力去经历第四步。为此，课题组仿照科学实践课的做法，将问题解决课当作数学实践课，设计了实践学习单，要求学生使用它来解决问题 [26]。

　　实践学习单最初由 4 页组成，刚好与 Polya 的 4 个步骤相对应，各阶段在各页上的平均分布旨在强调每个阶段同等重要 [27]。后来，课题组结合实际又将其调整为 3 页，删除了用于书写的部分空间。

　　实践学习单内容如下：

　　(问题)

　　理解问题

　　使用一些启发式来帮助你，比如画图，重新表述问题，用合适的数。

　　我已经理解问题。(在下面画圈)。

　　非常不同意… 同意… 非常同意 -1--2・3・--.4…-5+

　　你将进入下一页得出一个解法或部分解法。

　　拟定和执行计划

　　(1)清楚地陈述你的计划，例如使用合适的数并寻找模式，找到所有小三角形的面积然后计算它们的比。

　　(2)给每个计划编号，比如计划 1，计划 2，等等。

　　(3)执行陈述的计划。

　　计划 1(陈述计划)：

　　执行计划 1：

　　检查扩展。

　　(1)检查你的解法。

　　(2)写下任何你能想到的其他解法。

　　(3)给出这个问题的一到两个改编、扩展或一般化的问题。简洁地解释你的解决方案是否适用于它们。

　　实践学习单将在学生解决非常规问题时引导他们经历 Polya 的 4 个阶段并使用启发式。学生从第一页开始，然后继续下一页，若有需要再倒回去。在对问题的解决进行了令人满意的尝试之后，再进入后一页。学生直到完成最后一页才被认为已完成任务，从而向他们表明在解决问题的过程中 “检查扩展” 的重要性。

　　为了弥补实践学习单在可视性上的不足，课题组后来结合教师的经验设计了 4 板展示(four-panel presentation，4PP)，将白板分为 4 个部分，为 Polya 的每个阶段分配一个部分。这样设计的好处在于可以较好地展示问题解决的过程，尤其是倒回去的过程。

　　4.3 问题设计与选择原则

　　对于问题集中的每个问题，课题组都设计了下面的板块：要用到的启发式，在 Polya 模型第一、二、四阶段适当的提示，可以参考的对问题的改编、扩展和一般化，完整详细的解法，预期的学生反应，评价注意事项 [28]。

　　意识到问题选择的重要性，课题组制定了问题选择的 4 条原则 [29]：一是问题对大多数学生(如果不是对所有学生)足够有趣，使他们愿意尝试解决问题;二是学生有足够的 “资源” 来解决问题;三是内容范围很重要，但解决问题所涉及的过程更重要;四是问题可以扩展和一般化。

　　根据这些原则，课题组会听取学生和教师的意见对部分问题加以修改。比如对于问题 1：序列 1，2，3，…，10n–1 中所有数字的总和是多少?这个问题的解法需要用到数学归纳法，不适合八年级学生，于是被改为问题 2：序列 1，2，3，…，9999 中所有数字的总和是多少?在听取学生的意见之后发现不满足第一条和第二条原则，于是又被改成问题 3 的 “储物柜问题”：新学校正好有 343 个储物柜，编号从 1 到 343，而且正好有 343 名学生。开学第一天，学生们在大楼外会面，并就以下计划达成一致。第一个学生将进入学校，打开所有的储物柜。第二个学生将进入学校，关闭每个编号为偶数的储物柜。第三个学生将编号为 3 的倍数的储物柜 “倒转” 一次，即如果储物柜关闭，他将打开储物柜，如果储物柜打开，他将关闭储物柜。第四个学生将编号为 4 的倍数的储物柜 “倒转” 一次，以此类推，直到所有 343 名学生依次进入大楼并倒转相关储物柜。哪些储物柜最终会保持打开状态?

　　4.4 教师支架设计

　　教师的作用是支持需要帮助的学生改进数学问题解决的过程，为此课题组提出 3 个教师支架的水平。只有水平 1 失败了，才能给出水平 2，而且只有在时间紧迫的情况下才能给到最后一个水平。

　　4.5 评价体系设计

　　课题组认为此前在课堂上教学数学问题解决的尝试少有成功的根源在于数学问题解决在学校课程中不被评价。由于不评价，学生和教师都没有对数学问题解决及其过程给予足够的重视。学生对课程中需要评价的部分更感兴趣，为此，课题组设计了正式的评价体系，不仅评价结果，也评价问题解决的过程 [30]。研究表明，使这种评价体系成为学校评价的一部分将会使学生在课堂上投入更多努力 [31]。

　　10 节数学实践课上完之后要进行评价，要求学生用 50 分钟解决一个问题，成绩占总分的 40%。成绩的另外 60% 由 “当天的问题” 和家庭作业构成。前者是教师在每对学生中选一个问题和学生选一个自己做得最好的问题，后者是教师在每个学生中选一个问题和学生选一个自己做得最好的问题，每一项各占 15%。

　　评价标准关注在实践学习单中强调的数学问题解决过程，包括 3 个方面。

　　(1)Polya 的阶段：这个标准寻找使用 Polya 的阶段的证据(在实践学习单上显示或由教师观察到)。

　　(2)启发式：这个标准寻找运用启发式理解问题、拟定和执行计划的证据。

　　(3)检查扩展：这个标准寻找进行检查扩展的证据。

　　上面呈现的主要设计是在完全中学实施之后逐步修改而成的，但在主流学校实施之后还会作必要的修改，以适合各学校的实际需求。

　　5 融入与推广相关设计

　　5.1 融入常规课的 “替代单元” 设计

　　课题组认为数学问题解决的融入需要考虑众多设计因素，比如问题的性质、学生对问题的认知和体验等。一个关键的设计原则是帮助教师改进教学，为此需要选择困难的主题或学生经常犯错的概念来融入数学问题解决的教学。然而，在实施中发现教师遇到的一些挑战，特别是有限的课堂教学时间与完成教学目标的矛盾。如果在课堂上用过多时间解决问题，就减少了完成其它教学目标的时间;如果将问题留作家庭作业，教师不能加以指导，水平较低的学生的动机就可能会下降。为了有效解决这个矛盾，课题组采用 “替代单元” 设计，对学习单元的结构进行调整。这种设计需要进行学习内容的重组和相关教学材料的开发，以适应问题解决的整合，但无需增加单元的学习时间，即只是结构上的改变。这样，教师可以改变原来教学这个单元的方式，而不会对整个教学安排感到不安。

　　5.2 推广设计及理论基础

　　课题组在进行数学问题解决教学的推广时，以 Rogers 的创新推广理论 [32](theory of diffusion of innovations)作为设计的 “理论基础”。Rogers 提出了 5 个影响创新推广的因素：可观察性、可试验性、兼容性、复杂性和相对优势。可观察性是指创新产生预期结果的程度;可试验性是指能够进行创新试验的程度;兼容性是指创新符合其价值观、经验和需求的程度;复杂性是指创新易于理解和使用的程度;相对优势是指创新相对于目前的做法更好的程度 [33]。

　　新加坡的学校数学是以问题解决为中心，Polya 的模型也早已被使用。教师发现考试中有越来越多的非常规的问题，他们也发现之前采用的将非常规问题常规化的经常性的做法没有可持续性，他们正在寻求可以替代的教学问题解决的途径，因此课题组的设计已经具有很好的兼容性。为了保证可试验性，课题组允许合作学校先选择部分年级或部分班进行试验，在取得成效之后再进一步推广。为了实现可观察性和相对优势，减少复杂性成为了推广设计的关键。为此，课题组提供必要的支持以培养教师理解设计和实施的能力，除了对教师进行培训外，还发放指导手册，分配课题组成员到每所学校参与观察并与教师就一些复杂问题进行讨论。

　　目前，新加坡数学问题解决教学的设计(或适当修改之后的设计)已在很多其它学校 [34](甚至职前教师的数学课上)开展，这说明该设计具有较好的可行性和可持续性。教师对采用这种设计非常认同，也很有信心，学生也在尝试使用实践学习单并取得了问题解决的成功，不少学生还在 Polya 模型的第四步上取得了很大的进步 [35]。

　　6 研究结论与启示

　　综上所述，新加坡这项研究值得借鉴的地方主要有 3 个方面。

　　一是通过数学问题解决教学促进学生在解决非常规或不熟悉的数学问题上的表现。这是新加坡进行这项研究的最终目的。与新加坡的情况类似，中国学生在解决非常规或不熟悉问题的能力也亟待提高。他们在做有固定程序的练习题的时候往往比较熟练，可是在遇见不熟悉的问题时，有些学生甚至不能动笔在纸上试一试。不少学生发现没有现成的步骤可以套用的时候，往往无可奈何或等待老师提供解法。

　　二是采用了设计研究的路径对数学问题解决教学逐步进行设计、实施和改进。课题组也明确说明采用这种研究路径是因为其允许满足学校的特定要求和条件，同时，研究者也会强加一些严格的设计。这种路径提倡对教育设计进行 “实施 - 研究 - 精致” 的迭代方法，这对于处理基于学校的创新很有潜力 [36]。从上面的介绍也可以发现，无论是关于数学问题解决的教学，还是数学问题解决教学的融入和推广，都是根据设计研究的路径开展研究。国内有学者对设计研究进行了专门介绍，发现其在中国数学教育研究中的应用还十分薄弱 [37]。

　　三是数学问题解决教学的设计主要围绕数学问题解决过程(含启发式)。从第一阶段的设计(包括教学计划、实践学习单、问题集、教师支架和评价体系)来看，设计的核心是学习 Polya 提出的数学问题解决过程(含启发式)，先用专门的课使学生从整体上了解这个过程，然后融入常规课对这个过程进行复习和扩展。随着新课程的推进，中国很多数学教师都力图让学生经历数学问题解决的过程，给学生提供独立思考和合作解决问题的机会。然而，也存在一些明显的不足，比如缺少问题解决过程中的启发和提示，缺少问题解决后的检查扩展。由于数学问题解决耗时较多，不少教师往往不会给学生太多尝试的时间，而且在得出一些解法之后就进行知识和技能的巩固，致使学生的收获大打折扣。因此，新加坡这项研究开发出的一些设计十分值得借鉴。

　　然而，这项研究存在以下两点主要的不足之处。

　　一是数学问题解决教学的设计缺乏指导设计的理论基础。虽然课题组提到关于数学问题解决的教学是以 Polya 的数学问题解决模型和 Schoenfeld 的数学问题解决框架作为 “理论基础”，但通过上面的分析，可以发现这两个 “理论基础” 实际上是学生要学习的内容，并非整个设计的理论基础。课题组也提到 Rogers 的创新推广理论是进行推广设计的理论基础，这个理论提出的影响创新推广的因素使课题组发现减少复杂性是推广设计的关键，但缺少针对减少复杂性的设计的理论基础。由于没有坚实的理论基础，课题组的有些设计仅仅是对经验的借鉴，比如实践学习单的设计就是仿照科学实践课的做法。设计研究需要基于一定的理论基础尤其是学习科学的理论进行设计，以提高设计的质量。

　　二是没有充分提炼出数学问题解决教学的设计原则。设计原则是启发性的描述，它为解决问题提供了基于经验的建议 [38]。从上面的分析可以看到，课题组最后开发出了一系列设计，包括数学问题解决教学融入常规课的 “替代单元” 设计和推广到主流学校的减少复杂性的设计。然而，这些具体的设计只是设计研究的成果之一，设计研究还应有理论上的成果，也就是设计原则。虽然课题组也总结了一些设计原则，比如上文提到的融入常态课是一个关键的设计原则，但还不够充分。设计原则是设计特点的高度概括，有助于在其它类似的情境中开展进一步的研究，同时不断改进设计和优化设计原则。上文提到的一些具体设计可能有些并不适合其它情境，比如在专门的课上进行关于数学问题解决的教学并且每节课 55 分钟(或 1 个小时)就不适合中国的情况，实践学习单需要过多的书写可能在小学阶段并不适用;如果能够提炼出一些设计原则，就更有助于研究成果的推广。中国数学教育研究者在参考新加坡这项研究的同时，应该基于设计研究的一般路径，规避上述不足之处，以提高研究的质量和水平。

贺李;张春莉,北京师范大学教育学部,202403