中国光学(中英文)杂志投稿格式参考范文：快速反射镜恒偏差故障观测器设计

　　1 引言

　　作为光束指向控制的核心器件，快速反射镜(fast steering mirror, FSM)广泛应用于空间激光通信、机载光电载荷、太空望远镜等，用于实现视轴稳定、像移补偿和精确跟踪等功能。以空间激光通信为例，FSM 的性能对激光光束的传输与接收起着至关重要的作用，然而空间环境中 FSM 的工作条件比较恶劣，容易导致传感器和执行器发生故障，进而影响激光光束的准确传输与接收，最终使整个空间激光通信系统无法正常工作，造成严重损失。FSM 的故障可分为恒偏差、卡死和恒增益等，其中最为典型也最为普遍的是恒偏差故障，例如 FSM 执行器柔性轴疲劳磨损、松动和弯曲变形，传感器受到磁场干扰、振动和温度变化等均会导致恒偏差故障。因此对 FSM 进行恒偏差故障检测，提高系统的可靠性，成为当前亟需解决的问题。

　　目前，故障诊断的方法主要包括定性分析方法和定量分析方法。定性分析方法主要有图论法、专家系统和定性仿真。定量分析方法则包括基于解析模型的方法和基于数据的方法。定量分析方法可以提供较高的准确性，基于解析模型的方法可以精确地检测故障，减少误判和漏判，本文重点研究通过模型来对 FSM 进行故障诊断。

　　文献 [5] 提出了一种 FSM 的故障诊断方法，但其只考虑了单轴的 FSM 故障情况，且只考虑了传感器故障，具有一定的局限性。目前对于 FSM 故障诊断的研究还相对较少，现有的故障诊断方法无法满足其故障诊断的需求。文献 [6] 针对线性时不变系统，构造出一种全阶线性观测器，通过 H 和 H∞范数来降低外界扰动的影响，增大系统对故障的灵敏度，虽然结果能够验证系统的故障情况，但是生成的残差收敛性较差，不利于系统故障的检测。文献 [7] 针对时不变系统，提出了一种观测器，但是观测器增益矩阵和权重矩阵均是通过黎卡提(Riccati)方程求解得到的，观测器的设计有偏差。文献 [8] 针对线性系统，设计了一种故障诊断滤波器，但滤波器仅设计了观测器增益矩阵，没有考虑残差权重矩阵，降低了对故障的灵敏度以及检测精度。文献 [9] 针对线性时不变系统，提出了一种鲁棒故障检测观测器的设计方法，通过对 H2/H∞范数进行设计，来降低外界扰动的影响，增大系统对故障的灵敏度，并采用评价函数对故障结果进行评价，该方法能够实现对模型相对简单系统的故障诊断，但对于两轴耦合的 FSM 系统来进行故障诊断时不适用。

　　对于基于模型的故障诊断方法，精确的数学模型是故障诊断的前提和关键。FSM 一般采用柔性轴支撑结构，没有固定的旋转轴系，容易引起机械谐振，导致其难以精确建模。FSM 常用的模型辨识方法有 Levy 算法、Levenberg-Marquardt 算法、改进最小二乘法和子空间模型辨识方法等，但上述辨识方法都是在假定模型结构的基础上，通过极小化模型与系统之间的误差指标来估计模型的参数，因此设置误差指标时很难直接考虑柔性谐振模态。由脉冲响应构造的 Hankel 矩阵可以确定模型的阶次和参数，系统的模态和 Hankel 矩阵的奇异值是一一对应的，因此对 Hankel 矩阵进行奇异值分解，可以确定模型阶次，进而通过特征系统实现算法确定模型参数。

　　为了实现对两轴 FSM 系统的故障检测，本文提出了一种基于线性矩阵不等式(linear matrix inequality, LMI)的故障观测器设计方法。首先，通过基于 Hankel 矩阵的模型辨识方法得到了考虑耦合效应的两轴 FSM 模型。然后，提出了基于 LMI 的故障观测器设计方法。最后设计了两轴 FSM 的故障观测器，并通过仿真与实验进行了验证。

　　2 快速反射镜的恒偏差故障模型

　　2.1 考虑耦合效应的两轴快速反射镜模型的建立

　　本文的研究对象是基于音圈电机驱动的两轴 FSM，其具有行程大、驱动电压低、耐振动冲击等优点，在光电载荷中使用较多。

　　为了提高控制精度和响应速度，FSM 一般采用具有无摩擦、无装配间隙、无需润滑等优点的柔性支撑结构，没有固定的轴系。柔性轴在提升 FSM 性能的同时，也容易引起机械谐振，因此柔性特性是 FSM 建模和控制时必须考虑的问题。由于存在装调误差，两轴 FSM 的 X 轴和 Y 轴并不是完全正交的，其中一轴的运动状态会对另一轴的运动状态产生影响，即存在耦合效应，增加了控制的复杂性和难度。

　　考虑耦合效应的两轴 FSM 的状态空间方程如下：

　　GD = [

　　Axx 0 0 0 Bxx 0 0

　　Axy 0 0 Bxy 0 0

　　0 Ayx 0 0 Byx 0

　　0 0 Ayy 0 Byy 0

　　Cxx 0 Cyx 0 Dxx Dyx

　　0 Cxy 0 Cyy 0 Dxy Dyy

　　] = [AD BD; CD DD]

　　其中，A、B、C、D 为 FSM 系统的双输入双输出(double input double output, DIDO)模型，x 为系统状态向量，u 为系统输入向量，y 为系统输出向量。

　　考虑耦合效应的两轴 FSM 系统的模型可以通过如图 2 所示的 4 个单输入单输出(single input single output, SISO)子系统的模型并联组合得到。图中 Gxx 表示 X 轴的控制电压与 X 轴的偏转角度之间的传递函数，Gxy 表示 X 轴的控制电压与 Y 轴的偏转角度之间的传递函数，同理可知 Gyx 和 Gyy。其中，Gxx = [Axx Bxx; Cxx Dxx]，Gxy = [Axy Bxy; Cxy Dxy]，Gyx = [Ayx Byx; Cyx Dyx]，Gyy = [Ayy Byy; Cyy Dyy]，其中，Axx、Bxx、Cxx、Dx 对应 Gxx 状态空间模型中的参数 A、B、C、D。其他参数同理。

　　根据线性系统的组合特性，得到两轴 FSM 系统的 DIDO 状态空间矩阵 GD 为：

　　GD = [AD BD; CD DD]

　　其中，AD、BD、CD、DD 对应组合得到的 DIDO 状态空间模型中的参数 A、B、C、D。

　　通过文献 [16] 可知，式 (2) 的能控性矩阵 Lc 和能观性矩阵 Lo 满足以下李雅普诺夫方程：

　　其中，Lc = [BD ADBD … ADn-1BD]，Lo = [CD CDAD … CDAn-1D] T，n 为 AD 的阶次。存在变换矩阵 T 使得变换后的能控性矩阵 Lcl 和能观性矩阵 Lol 满足：

　　Lcl = TLcTT = Λ;Lol = (T-1)TLoT-1 = Λ

　　其中，Λ = diag {λ1, …, λN}，其对角元素为系统奇异值，且 λ1 ≥ λ2 ≥ … ≥ λr >> λr+1 ≥ … ≥ λN ≥ 0，其中 λ1, λ2, …, λr 是系统真实模态对应的奇异值，相对较大，λr+1, λr+2, …, λN 为测量噪声引起的奇异值，相对较小，接近于零。

　　进而可以得到 FSM 系统的 DIDO 状态空间矩阵 G：

　　G = [TADT-1 TB D; CDT-1 DD] = [A B; C D]

　　2.2 快速反射镜恒偏差故障模型的建立

　　对于 FSM 系统，常见的故障有执行器故障和传感器故障等。执行器和传感器故障包括恒增益、卡死和恒偏差等。

　　对于执行器发生故障的情况，可用以下数学模型进行描述：

　　u(t) = ur(t) + fa(t)

　　其中，ur (t) 表示正常情况下的输入信号，fa (t) 表示可能发生的执行器故障。

　　恒增益故障表示为 u (t) 出现恒定的增益值，即恒增益故障表示为 fa (t) = δur (t)，其中 δ 表示故障增益的倍数。

　　恒偏差故障表示为 u (t) 出现恒定的偏差值，即恒偏差故障表示为 fa (t) = a [0, …, 1i, …, 0] T，其中 a 为故障常数，向量中第 i 个元素为 1，对应发生故障的位置，其余元素为 0。

　　由于长时间工作，FSM 的柔性轴容易疲劳、松动及损坏，还容易产生弯曲变形等，这些故障都可以用执行器恒偏差故障来表示。

　　此时的输入矩阵：

　　u(t) = ur(t) + Δ

　　其中，Δ 为执行器偏差故障向量，令其为执行器的故障矩阵。

　　对于传感器发生故障的情况，可用以下数学模型描述：

　　ym(t) = y(t) + fs(t)

　　其中，y (t) 表示为正常情况下的输出信号，fs (t) 表示可能发生的传感器故障。传感器的恒增益和恒偏差故障与执行器的恒增益和恒偏差故障类似。

　　由于 FSM 的工作环境比较恶劣，FSM 可能受到电磁场、振动、温度变化或其他环境因素的干扰，这些情况都可以用传感器恒偏差故障来表示。

　　此时的输出矩阵：

　　ym(t) = y(t) + Ω

　　其中，Ω 为传感器偏差故障向量，令其为传感器的故障矩阵。

　　3 快速反射镜的模型辨识

　　3.1 基于 Hankel 矩阵的快速反射镜模型辨识方法

　　为了获取两轴 FSM 的 DIDO 模型，本文需要先获取 4 个 SISO 模型。以 Gxx 为例，假设 FSM 系统的输入信号为 {u (0), u (T), …}，输出信号为 {y (0), y (T), …}。则 FSM 系统在激励下得到的响应的离散状态空间方程为：

　　{x((k+1)T) = ASx(kT) + BSu(kT)y(kT) = CSx(kT) + DSu(kT)}

　　其中，AS、BS、CS、DS 对应单轴 FSM 系统的 SISO 状态空间模型中的参数 A、B、C、D。

　　记 FSM 系统脉冲响应(即 Markov 参数)为 {g (0), g (T), …}。则脉冲响应与传递函数的关系为：

　　g(0) = DS，g(T) = CSBS，

　　g(2T) = CSASBS，g(3T) = CSAS²BS，…

　　根据系统脉冲响应序列 g (kT) 构造的 Hankel 矩阵 H 如下：

　　H = [

　　g(T) g(2T) … g(nT)

　　g(2T) g(3T) … g((n+1)T)

　　⋮ ⋮ ⋱ ⋮

　　g(nT) g((n+1)T) … g((2n-1)T)] = [CSCSAS⋮CSASn-1

　　][BS ASBS … ASn-1BS]

　　对 Hankel 矩阵进行奇异值分解：

　　H = [U1 U2] diag{Σ1, Σ2}[V1 V2]T = U1Σ1V1T + U2Σ2V2T ≈ U1Σ1V1T

　　其中，定义 H1 为：H1 = U1√Σ1AS√

　　通过式 (13)，对矩阵 H1 进行奇异值分解，可以得到 U1、√Σ1 与 V1，将 U1 和√Σ1 相乘，取第一行为 CS;将√Σ1 与 V1T 相乘，取第一列为 BS，将式 (14) 两侧进行转置与逆运算，即可求得 AS。根据式 (13) 和式 (14)，可以得到：

　　CS = (U1 diag{√σ1, …, √σr})E1

　　BS = (diag{√σ1, …, √σr}V1T)E1

　　AS ≈ (√Σ1)-1U1TH1V1(√Σ1)-1

　　其中，E1 表示取矩阵的第 1 行，E1 表示取矩阵的第 1 列。

　　一般来说，工程系统都满足 DS = g (0) ≈ 0，根据参数 AS，BS，CS，DS 便可求得 FSM 系统的传递函数 Gxx。

　　3.2 两轴快速反射镜模型的获取

　　dSPACE 可根据主控计算机 MATLAB/Simulink 中的控制算法，实时生成代码并下载到硬件中运行，方便进行 FSM 模型辨识和故障检测的研究。FSM 采用四象限探测器作为角位移传感器，角位移传感器的信号通过 AD 采样进入 dSPACE，dSPACE 产生的控制指令通过 DA 给到驱动电路放大后，驱动 FSM 转动。

　　采集实验数据，得到的 4 组 SISO 模型如下：

　　Cxx = [-33.07 -2.07 41.02 -0.99]T

　　Cyy = [-27.99 -4.65 37.69 -0.77]T

　　D = [0 0; 0 0]

　　通过计算可以得到实验室的 FSM 系统的 DIDO 模型如下：

　　A = [-20.49 2.79 125.68 -

　　-2.98 -20.41 -3.79 -147.11 -125.07

　　3.48 -32.09 3.62 2.04

　　147.13 -3.26 -29.58]

　　B = [25.52 -20.77 26.74 21.10; -23.89 -23.15 -23.69 23.68]T

　　C = [24.68 -22.28 -25.40 -21.97 -24.76 -21.70 25.12 -22.87]

　　在得到 FSM 系统的 DIDO 模型后，以该 DIDO 模型计算出的 X 轴的控制电压与 X 轴偏转角度之间的传递函数为例，将其与实际 FSM 系统 X 轴的频域特性曲线进行对比。

　　在 FSM 的工作带宽范围内，采用基于 Hankel 矩阵模型辨识方法得到的状态空间模型与 FSM 实际系统的频域特性基本一致，具有较高的建模精度。

　　4 快速反射镜的故障观测器

　　4.1 恒偏差故障观测器的设计

　　由式 (1)、式 (7) 和式 (9)，得出当 FSM 系统发生执行器恒偏差故障和传感器恒偏差故障时的状态空间方程：

　　{ẋ = Ax + Bu + Ed d + Ef f

　　y = Cx + Du + Fd d + Ff f}

　　其中，A、B、C、D 为 FSM 系统的 DIDO 模型，Ed、Fd 为外界干扰矩阵，Ef、Ff 为 FSM 系统故障矩阵，A、B、C、D、Ed、Fd、Ef、Ff 均已知。x 为系统状态向量，u 为系统输入向量，y 为系统输出向量，d 为系统的不确定扰动向量(包括建模误差和外部扰动等)，f 为系统的故障向量。

　　上述公式有如下假设：(1) 系统是渐进稳定的;(2)(C, A) 是可检测的;(3)[A-jωI Ed; C Fd] 对于所有的 ω 行满秩。

　　设计如下 FSM 系统故障观测器：

　　{ẋ̂ = Ax̂ + Bu + H(y-ŷ)

　　ŷ = Cx̂ + Du

　　r = V(y-ŷ)}

　　其中，x̂为系统状态估计向量，ŷ为输出估计向量，r 为残差信号，H 为故障观测器的增益矩阵，V 为残差权重矩阵。

　　根据式 (16) 和式 (17)，构建的 FSM 故障观测器模型。

　　记观测误差 e = x - x̂，于是系统可表示为：

　　{ė = (A - HC)e + (Ed - HFd)d + (Ef - HFf)f

　　r = V(Ce + Fd d + Ff f)}

　　构建的故障观测器应该满足以下两个要求：(1) 保证矩阵 A - HC 稳定;(2) 保证生成的残差 r 对不确定扰动 d 有很强的鲁棒性，对系统故障 f 有很强的灵敏性。

　　在观测器设计方面，Riccati 方程由于无法考虑模型不确定性和外界扰动，因此会影响故障观测器增益矩阵和残差权重矩阵，从而降低系统状态估计量和系统残差的准确性，最终会导致系统的故障检测性能下降。

　　4.2 基于 LMI 的故障观测器设计

　　LMI 故障观测器可以通过调整矩阵参数以满足不同的性能要求和故障检测需求，这使得 LMI 故障观测器具有一定的灵活性，可以根据具体的系统特性进行定制和优化。

　　虽然基于 LMI 的故障观测器需要进行多次迭代运算才可求得最优解，但使用 MATLAB 等可以大幅提高运算效率的计算软件可以较好地解决计算量较大的问题。而且相比于 Riccati 方程，该方法考虑到了模型不确定性和外界扰动的影响。经过多次迭代，能够很好地增强系统对不确定扰动的鲁棒性和对故障检测的灵敏度，进而提高故障检测的准确性。

　　4.3 评价函数与阈值设定

　　一般地，在获得故障观测器残差之后，需要对产生的残差进行评价。

　　5 仿真和实验结果

　　5.1 模型参数、扰动参数的设定

　　根据上文得到的 FSM 解析模型式 (5)，假设建模误差和外部扰动是方差为 0.075 的噪声信号，在 2~3 s 增加故障幅值为 0.05 的阶跃信号，进行恒偏差故障模拟。

　　5.2 传感器故障的仿真结果

　　当 FSM 执行器无故障、传感器出现故障时：

　　求解基于 Riccati 的故障观测器，得到的 X 轴与 Y 轴的偏转角残差如图 7 所示，在 2~3 s 增加故障后，Y 轴在 2.03 s 检测到故障，但 X 轴未检测到故障，说明该方法不能完全检测出系统故障。

　　求解基于 LMI 的故障观测器，得到的 X 轴与 Y 轴的偏转角残差如图 9 所示，X 轴在 2.38 s 检测到故障，Y 轴在 2.10 s 检测到故障，说明该方法能够完全检测出系统故障。

　　5.3 执行器和传感器同时故障的仿真结果

　　当 FSM 执行器和传感器均出现故障时：

　　求解基于 Riccati 的故障观测器，得到的 X 轴与 Y 轴的偏转角残差如图 11 所示，Y 轴在 2.02 s 检测到故障，但 X 轴未检测到故障，说明该方法不能完全检测出系统故障。

　　求解基于 LMI 的故障观测器，得到的 X 轴与 Y 轴的偏转角残差如图 13 所示，X 轴在 2.21 s 检测到故障，Y 轴在 2.12 s 检测到故障，说明该方法能够完全检测出系统故障。

　　5.4 执行器和传感器同时故障的实验结果

　　通过 dSPACE 实验平台对 FSM 实际系统的执行器、传感器故障进行实验测试，故障框图如图 15 所示(音圈电机故障表示执行器恒偏差故障，四象限探测器故障表示传感器恒偏差故障)。

　　基于 Riccati 的故障观测器实验中，Y 轴在 2.01 s 检测到故障，但 X 轴未检测到故障，说明该方法不能完全检测出系统故障。

　　基于 LMI 的故障观测器实验中，X 轴在 2.10 s 检测到故障，Y 轴在 2.06 s 检测到故障，说明该方法能够完全检测出系统故障。

　　6 结论

　　本文采用基于 Hankel 矩阵的模型辨识方法获得了考虑耦合效应的两轴 FSM 模型，实现柔性模态的精确辨识，为恒偏差故障的检测奠定了基础。然后，针对空间激光通信下的 FSM 恒偏差故障检测问题，采用 LMI 方法设计了故障观测器，并通过仿真与实验进行了验证。

　　结果表明，采用 Riccati 方法设计的故障观测器无法考虑模型不确定性和外界扰动的影响，降低了准确性，无法有效检测出其中一轴的故障，而采用 LMI 方法设计的故障观测器通过多次迭代，提高了系统对不确定扰动的鲁棒性和对故障检测的灵敏度，对于 X 轴能够在故障发生后 0.1 秒内检测出故障，对于 Y 轴能够在故障发生后 0.06 秒内检测出故障。因此本文提出的基于 LMI 的故障观测器设计方法可以有效解决两轴 FSM 恒偏差故障的检测问题。

　　对控制系统来说，模型不确定性和外界扰动分别属于内部因素和外部因素，从本质上来说是不同的。本文对 FSM 故障检测的研究尚未区分模型不确定性和外界扰动，后续可以在此基础上，分别研究模型不确定性和外界扰动对 FSM 恒偏差故障的检测的影响。

李智斌;潘嘉男;孙崇尚;吴佳彬,山东科技大学电气与自动化工程学院;中国科学院长春光学精密机械与物理研究所,202501