含Sobolev临界指数的半线性椭圆系统的对称正解

来源：应用数学学报杂志2015年第5期北京时间：

作者：邓志颖, 黄毅生, 沈世云

单位：1. 重庆邮电大学数理学院, 重庆 400065;2. 苏州大学数学科学学院, 苏州 215006;3. 重庆邮电大学数理学院, 重庆 400065

摘要：本文研究一类含有奇异位势和Sobolev临界指数的半线性椭圆型系统 其中 Ω⊂RN(N≥3)是具有光滑边界 ∂Ω的一个有界区域, 0∈Ω且 Ω 关于 O(N)的一个闭子群 G对称. Lμ=-Δ-μ·/(|x|2)是一个半线性椭圆型算子, H0,G1(Ω)是一个适当的由 G-对称函数构成的 Sobolev空间. 2*=2N/(N-2)是Sobolev嵌入 H01(Ω)⊆L2*(Ω)的临界指数, λ≥0, 0≤ςi < 2, 2 < qi < 2*(ςi)=2(N-ςi)/(N-2)(i=1, 2), 且 α, β > 1满足 α+β=2*=2*(0), K(x)是满足某些条件的连续有界函数. 设 K0 > 0是一个常数, 这里我们讨论系统在 λ=0, K(x)≠K0 与 λ > 0, K(x)≡K0时的两种情形. 本文的第一个目的是研究问题(βOK)的 G-对称解的存在性与多重性. 在Palais对称临界原理 和Lions集中紧性原理的基础上, 我们首先 验证局部Palais-Smale条件并得出问题(βOK)的正对称解的一些存在性结果. 同时, 应用对称山路定理, 我们也证得问题(βOK) 无穷多个 G-对称解的 存在性. 本文的第二个目的是研究问题(βλK0)对称正解的存在性. 我们先 应用由含有次临界凹凸非线性项的半线性椭圆型系统发展而来的著名技巧, 证得(βλK0)对应的 泛函满足山路定理的几何条件. 然后再应用上述分析技巧 说明山路水平恰好位于紧性成立的水平线之下, 进而由Palais-Smale序列的这些结果和山路定理证得问题(βλK0)正对称解的存在性.

关键词：G-对称解,Sobolev临界指数,Hardy型不等式,半线性椭圆型系统

基金资助：国家自然科学基金(11471235,11171247),以及重庆市教委科学技术研究基金(KJ130503)资助项目.