数学物理学报杂志投稿格式参考范文：带交易成本的时间一致风险控制与投资策略

　　1 引言

　　近年来，保险公司的最优风险控制与投资问题已经受到了广泛的关注。保险公司可以将资金投资于金融市场来增加收益。采用合适的风险控制策略可以帮助保险公司规避保险风险，一种比较常见且有效的规避保险风险的方法是购买再保险。有关最优投资与再保险问题，另一种方法是直接通过管理保单数量来控制保险风险。例如，Zou 和 Cadenillas 在期望效用最大化准则下研究了保险公司的最优投资和风险控制问题，Peng 和 Wan 研究了具有市场内幕信息的保险公司的最优投资和风险控制问题，Bo 和 Wang 引入随机因子，研究了保险公司的最优风险控制和投资问题，Peng 等假设保险公司只拥有市场部分信息，求解了最优投资和风险控制策略，Shen 和 Zou 通过引入前向辅助过程求解了时间一致的投资与风险控制策略，Chen 等在保险公司只拥有市场部分信息并且终端决策时刻不确定的情况下研究了保险公司的最优投资和风险控制问题。

　　在预先承诺策略中，决策者仅依赖于初始信息求解最优策略，这意味着决策者在初始时刻选择了一个策略来最大化目标函数，然后沿用这个策略。另一种方法是在博弈论框架下处理动态均值 - 方差问题，寻找时间一致的均衡策略，该策略不仅在当前是均衡的，未来的任何时刻都保持均衡性。有关这种方法的更多细节，可以参考 Björk 和 Murgoci、Wang 和 Wei、Sun 和 Guo。两种方法来应对时间不一致问题，一种方法是寻求预先承诺的策略，如 Bi 等，均值 - 方差准则存在时间不一致问题，另一种方法是在博弈论框架下处理动态均值 - 方差问题，寻找时间一致的均衡策略。

　　动态均值 - 方差准则是最优风险控制和投资问题研究中的常用优化准则，相比较期望效用最大化准则和最小化破产概率准则，具有其独特的优势。Wang 和 Wei 在动态均值 - 方差准则下将 CEV 模型纳入最优再保险和投资问题中，得到了时间一致的再保险和投资策略的封闭表达式和相应的值函数。Björk 等假设决策者的风险厌恶与当前的财富值有关，并在动态均值 - 方差准则下求解了时间一致的投资组合策略。Bi 和 Cai 将状态依赖的风险规避和 VaR 约束引入到均值 - 方差再保险和投资问题中，获得了时间一致的均衡策略。

　　Yuan 等在均值 - 方差准则下研究了具有稀疏相依结构的风险模型的时间一致再保险与投资问题。以上所有的研究都假设市场是无摩擦的，忽略了在金融市场中投资的交易成本。然而，在实际的投资交易中，交易成本是不可避免的，投资于风险资产时通常需要支付相应的交易费用，这会在一定程度上降低交易策略的收益。因此，不应忽视交易成本对投资绩效的影响。Yoshiba 和 Tamura 研究了受交易成本影响的投资组合优化问题，实证分析表明，忽略交易成本会导致投资组合效率低下。He 和 Liang 考虑金融市场中具有固定和比例交易成本，研究了保险公司的最优融资和股利控制问题。Hobson 等求解了金融市场中具有比例交易成本和单一风险资产的默顿问题。

　　Mei 和 Nogales 假设金融市场中存在多个风险资产和比例交易成本，在收益可预测的情况下，研究了多阶段的投资组合选择问题。Melnyk 等探讨了在等弹性递归效用下，具有小交易成本的终身消费和投资组合选择问题。Gârleanu 和 Pedersen 假设每笔交易都会对风险资产产生一个线性的瞬时价格影响，由此导出交易成本是二次型的，并在离散时间框架下研究了具有收益可预测的最优投资组合问题。在文献 [27] 的框架下考虑了具有二次型交易成本，且收益可预测时的投资组合选择问题，得到了最优投资策略的显式表达式，并证明了文献 [27] 中离散时间情况下解的极限与文献 [28] 中连续时间框架下的解是一致的。Bensoussan 等研究了存在二次型交易成本和收益可预测的最优交易策略，其目标是使终端财富的指数效用最大化。结果表明，最优交易策略将逐渐收敛于由未来默顿投资组合的期望的加权和所构成的目标投资组合。

　　在文献 [29] 中，同样研究了具有收益可预测和二次型交易成本的投资组合问题，并表明交易策略应逐步向目标投资组合靠近。本文在保险公司的最优风险控制与投资问题中引入二次型交易成本，假设保险市场和金融市场是相关的，在动态均值 - 方差准则下，运用博弈论的思想，通过求解扩展的 HJB 方程组，得到了时间一致的均衡风险控制与投资策略。假设金融市场由无风险资产和多种风险资产组成，并且运用跳扩散过程来描述保险公司单位风险的动态模型。与现有的均值 - 方差准则下的最优风险控制和投资问题的文献相比，本文的创新点在于同时考虑了二次型交易成本和保险市场与金融市场之间的相关性。

　　虽然 Gârleanu 和 Pedersen 等研究了具有二次型交易成本的投资组合问题，但是这些工作并没有考虑到保险风险控制以及保险风险与金融风险的相关性。在博弈论框架下，通过求解扩展的 HJB 方程组，我们得到了依赖于矩阵 Riccati 方程组的解的均衡策略和相应的值函数。此外，还进一步研究了一些特殊情况，并给出了均衡策略和值函数的更具体的表达式。通过数值分析发现，随着交易成本水平或相关系数的增加，投资的增长率会减小。并且交易成本水平的增加会导致更差的有效前沿。该文第 2 节介绍了单位风险过程，风险资产价格过程以及优化目标。第 3 节求解优化问题，推导出均衡风险控制和投资策略以及相应的值函数，同时还考虑了一些特殊情形。第 4 节通过数值算例分析了重要参数对均衡策略和有效前沿的影响。第 5 节是对该文的总结。

　　2 模型建立令

　　((Omega, F,{F_{t}}{t in[0, T]}, mathbb{P}))为一个带 filtration 的完备概率空间，其中({F{t}}{t in[0, T]})满足通常条件，(T>0)为终端决策时刻。本文涉及到的随机过程都定义在上述概率空间中，并关于({F{t}}{t in[0, T]})适应。假设保险公司的单位风险过程(R(t))满足(d R(t)=alpha d t+sigma{0} d W_{0}(t)+int_{0}^{infty} y N( d t, d y))

　　其中(alpha)和(sigma_{0})为正常数，(N(dt, dy))为泊松随机测度，(W_{0}(t))是一个与(N(dt, dy))独立的标准布朗运动。令( ilde{N}(dt, dy) = N(dt, dy)-v(dy)dt)为(N(dt, dy))的补偿泊松随机测度，其中(v(dy))为 Lévy 测度，满足(int_{0}^{infty}(1wedge y^2)v(dy)<infty)。保险公司可以通过控制保单数来管理保险风险，设(p(t))表示t时刻保险公司承担的保单数量。给定风险控制策略(p(t))，保险公司的瞬时收益为(p(t)(c dt - dR(t)))，其中c表示保险公司收取的单位保费率。为了增加收益，保险公司还可以将资金投资于金融市场。无风险资产的价格过程(S_{0}(t))满足(d S_{0}(t)=r_{0} S_{0}(t) d t)其中(r_{0})为无风险利率。风险资产的价格过程(S(t)=(S_{1}(t),S_{2}(t),cdots,S_{n}(t))^{ op})满足

　　(d S(t)=left[r_{0} S(t)+mu(t) ight] d t+sigma_{s}left( ho I_{n imes 1} d W_{0}(t)+hat{ ho} d W_{1}(t) ight))

　　这里(sigma_{s}=(sigma_{i j}){n imes n})是n阶非退化波动率矩阵，(mu(t)=[mu{1}(t), mu_{2}(t), cdots, mu_{n}(t)]^{ op})为风险资产的超额回报率向量，(W_{1}(t)=[W_{11}(t), W_{12}(t), cdots, W_{1 n}(t)]^{ op})为与(W_{0}(t))和(N(dt, dy))独立的n维布朗运动，( ho=diag( ho_{1}, ho_{2}, cdots, ho_{n}))描述了保险市场与金融市场之间的相关性，而(hat{ ho}=diag(sqrt{1- ho_{1}^{2}}, sqrt{1- ho_{2}^{2}}, cdots, sqrt{1- ho_{n}^{2}}))，(I_{n imes 1})为元素均为 1 的列向量。

　　在现实中，投资策略的选取会受到市场摩擦的影响，如交易成本，市场波动，资本利得税等，其中交易成本最为常见，并受到研究人员和投资者的广泛关注。交易成本会在一定程度上影响投资者的投资组合选择，且忽视交易成本可能会导致较大损失。设(pi_{i}(t))为保险公司投资于第i个风险资产的份额，(i = 1,2,cdots,n)，记(pi(t)=[pi_{1}(t), pi_{2}(t), cdots, pi_{n}(t)]^{ op})。Gârleanu 和 Pedersen 指出资产头寸的非光滑变动可能会导致无限的交易成本，所以本文只考虑光滑或者绝对连续的投资组合(pi(t))。即存在(varphi(t)=[varphi_{1}(t), varphi_{2}(t), cdots, varphi_{n}(t)]^{ op})使得(d pi(t)=varphi(t) d t)以下将(varphi(t))视为投资策略。

　　参考 Gârleanu 和 Pedersen 的做法，假设交易速度(varphi(t)dt)对它的价格产生瞬时的线性影响，这导致保险公司每买入(或卖出)(varphi(t)dt)单位风险资产时需要支付(或获得)的金额为(S^{E}(t):=S(t)+frac{1}{2} Lambda varphi(t))其中(Lambda)刻画交易成本水平，它是n阶的对称正定矩阵。(S^{E}(t))称为风险资产的执行价格。在给定策略(varphi(t))下，单位时间的总成本为(Cost(varphi(t)):=varphi(t)^{ op} S^{E}(t)=varphi(t)^{ op} S(t)+frac{1}{2} varphi(t)^{ op} Lambda varphi(t))

　　上式右边第一项为交易(varphi(t))单位价格为(S(t))的风险资产的支出，第二项为相应的交易成本。令(u(t)=(p(t), varphi(t))^{ op})为保险公司采取的风险控制与投资策略，(X^{u}(t))为相应的财富过程，则(X^{u}(t))满足

　　(egin{aligned} d X^{u}(t)= & p(t)(c d t-d R(t))+r_{0} pi_{0}(t) S_{0}(t) d t+pi(t)^{ op} d S(t)-frac{1}{2} varphi(t)^{ op} Lambda varphi(t) d t = & {left[r_{0} X^{u}(t)+p(t)(c-alpha)+pi(t)^{ op} mu(t)-frac{1}{2} varphi(t)^{ op} Lambda varphi(t) ight] d t } & +left(pi(t)^{ op} sigma_{s} ho I_{n imes 1}-p(t) sigma_{0} ight) d W_{0}(t)+pi(t)^{ op} sigma_{s} hat{ ho} d W_{1}(t)-p(t) int_{0}^{infty} y ilde{N}(d t, d y) end{aligned})

　　其中(pi_{0}(t)S_{0}(t))为投资于无风险资产的财富，满足(pi_{0}(t) S_{0}(t)=X^{u}(t)-pi(t)^{ op} S(t))。下面给出可容许策略的定义

　　定义 2.1 如果风险控制与投资策略(u(t)=(p(t), varphi(t))^{ op})满足如下条件，那么称其为可容许策略

　　(1)(u(t))关于({F_{t}}{t in[0, T]})循序可测;(2) 对任意(t in[0, T])，(p(t) in[0,+infty));(3)(mathbb{E}left[int{0}^{T}left(p(t)^{2}+|varphi(t)|^{2} ight) d t ight]<+infty);

　　(4) 随机微分方程 (2.7) 存在唯一强解。保险公司的目标函数定义为

　　(J^{u}(t, x, pi)=mathbb{E}{t, x, pi}left[X^{u}(T) ight]-frac{gamma}{2} Var{t, x, pi}left[X^{u}(T) ight])

　　其中(mathbb{E}{t, x, pi}[cdot]=mathbb{E}[cdot | X^{u}(t)=x, pi(t)=pi])，(Var{t, x, pi}[cdot]=Var[cdot | X^{u}(t)=x, pi(t)=pi])，(gamma)为风险厌恶系数。保险公司的目标是寻找风险控制与投资策略使得目标函数最大化，即求解

　　(sup {u in Pi} J^{u}(t, x, pi))由于(J^{u}(t, x, pi))中含有(mathbb{E}{t, x, pi}[X^{u}(T)])的非线性项，所以问题 (2.9) 是时间不一致的，即保险公司在当前时刻的最优策略在未来可能不是最优的。但是对于理性的决策者来说，策略的时间一致性是非常重要的，决策者希望能够得到时间一致的均衡策略。参考 Björk 和 Murgoci 和 Björk 等，我们给出时间一致的均衡风险控制与投资策略的定义定义 2.2 设(u^{}(t)=(p^{}(t), varphi^{}(t))^{ op} in Pi)，构造如下策略(u_{varepsilon}(s)=left{egin{array}{l} ( ilde{p}, ilde{varphi}), t leq s leq t+varepsilon, u^{}(s), t+varepsilon leq s leq T, end{array} ight.)

　　其中(varepsilon>0)为一固定实数，(( ilde{p}, ilde{varphi}) in[0,+infty) imes mathbb{R}^{n})。如果对任意的初始状态((t, x, pi) in[0, T] imes mathbb{R} imes mathbb{R}^{n})，有

　　(lim inf {varepsilon downarrow 0} frac{J^{u^{*}}(t, x, pi)-J^{u{varepsilon}}(t, x, pi)}{varepsilon} geq 0)

　　那么(u^{}(t)=(p^{}(t), varphi^{}(t))^{ op})为均衡风险控制与投资策略，且相应的值函数为(V(t, x, pi)=J^{u^{}}(t, x, pi))3 主要结果本节给出问题 (2.9) 的验证定理并求解得到时间一致的均衡风险控制与投资策略。首先定义一个无穷小算子。方便起见，令(C^{1,2,2}([0, T] imes mathbb{R} imes mathbb{R}^{n}))为所有关于(t in[0, T])一阶连续可导，关于(x in mathbb{R})，(pi in mathbb{R}^{n})二阶连续可导的函数(phi(t, x, pi))构成的空间。对任意的(phi(t, x, pi) in C^{1,2,2}([0, T] imes mathbb{R} imes mathbb{R}^{n}))，定义算子如下[egin {aligned} mathcal {A}^{u} phi (t, x, pi):= & {left[r_{0} x+p(c-alpha)+pi^{ op} mu-frac{1}{2} varphi^{ op} Lambda varphi ight] phi_{x}(t, x, pi)+phi_{t}(t, x, pi)

　　& +phi_{pi}(t, x, pi)^{ op} varphi+frac{1}{2}left(left(pi^{ op} sigma_{s} ho I_{n × 1}-p sigma_{0} ight)^{2}+pi^{ op} sigma_{s} hat{ ho}^{2} sigma_{s}^{ op} pi ight) phi_{x x}(t, x, pi) & +int_{0}^{infty}(phi(t, x-p y, pi)-phi(t, x, pi)) v( d y) .end{aligned}

　　]下面给出问题 (2.9) 的值函数满足的扩展的 HJB 方程组及相应的验证定理

　　3、定理

　　3.1 假设存在函数(V(t, x, pi))，(g(t, x, pi) in C^{1,2,2}([0, T] ×mathbb{R} ×mathbb{R}^{n}))满足如下扩展的 HJB 方程组

　　(sup {u in Pi}left{mathcal{A}^{u} V(t, x, pi)-frac{gamma}{2} mathcal{A}^{u} g^{2}(t, x, pi)+gamma g(t, x, pi) mathcal{A}^{u} g(t, x, pi) ight}=0)(V(T, x, pi)=x)(mathcal{A}^{u^{}} g(t, x, pi)=0)其中(u^{}:=arg sup {u in Pi}left{mathcal{A}^{u} V(t, x, pi)-frac{gamma}{2} mathcal{A}^{u} g^{2}(t, x, pi)+gamma g(t, x, pi) mathcal{A}^{u} g(t, x, pi) ight})(g(T, x, pi)=x)那么(u^{})为均衡风险控制与投资策略，且(V(t, x, pi)=J^{u^{}}(t, x, pi))，(g(t, x, pi)=mathbb{E}{t, x, pi}left[X^{u^{}}(T) ight])。证 参见文献 [17]。通过求解扩展的 HJB 方程组可得到以下结果定理

　　3.2 对于问题 (2.9)，其均衡风险控制策略为(p^{}(t)=p(t) vee 0)其中(p(t))满足(egin{aligned}& (c-alpha) e^{r{0}(T-t)}+gamma sigma_{0}left(pi(t)^{ op} sigma_{s} ho I_{n × 1}-p(t) sigma_{0} ight) e^{2 r_{0}(T-t)}

　　& -int_{0}^{infty}left(y e^{r_{0}(T-t)}+gamma p(t) y^{2} e^{2 r_{0}(T-t)} ight) v( d y)=0 .

　　end{aligned})均衡投资策略(varphi^{}(t))由下式给出(varphi^{}(t)=Lambda^{-1}(2 M(t) pi(t)+overline{N}(t)) e^{-r_{0}(T-t)})这里的(M(t))是微分方程 (A10) 的解，而(ar{N}(t))是微分方程 (A11) 的解 (其中(p(t))换为(p(t) vee 0))。相应的均衡值函数如下

　　(V(t, x, pi)=x e^{r_{0}(T-t)}+pi^{ op} M(t) pi+pi^{ op} overline{N}(t)+overline{H}(t))上式中(ar{H}(t))是微分方程 (A12) 的解 (其中(p(t))换为(p(t) vee 0))。且

　　(mathbb{E}{t, x, pi}left[X^{u^{*}}(T) ight]=g(t, x, pi)=x e^{r{0}(T-t)}+pi^{ op} m(t) pi+pi^{ op} overline{n}(t)+overline{h}(t))这里的(m(t))是微分方程 (A13) 的解，(ar{n}(t))和(ar{h}(t))分别是微分方程 (A14) 和 (A15) 的解 (其中(p(t))换为(p(t) vee 0)。证 见附录 A.1。注 3.1 由 (3.9) 式可以看出均衡投资策略(varphi^{}(t))的取值与交易成本水平(Lambda)有关，而当( ho eq 0_{n ×n})时，由 (3.9) 和 (A11) 式可以发现均衡投资策略(varphi^{}(t))不仅依赖于交易成本水平，还依赖于保险公司的单位风险过程的参数，这是保险市场和金融市场之间存在相关性导致的。并且当市场相关性存在时，由 (3.8) 式可知，均衡风险控制策略(p^{}(t))与均衡投资策略(varphi^{}(t))有关，也就是说，交易成本水平(Lambda)不仅影响均衡投资策略(varphi^{}(t))，也会影响均衡风险控制策略(p^{}(t))。注 3.2 根据 (3.10) 与 (3.11) 式可以得到均值 - 方差有效前沿的参数表达式为 ((gamma)视为参数)

　　(mathbb{E}{t, x, pi}left[X^{u^{*}}(T) ight]=g(t, x, pi)=x e^{r{0}(T-t)}+pi^{ op} m(t) pi+pi^{ op} overline{n}(t)+overline{h}(t))(egin{aligned}

　　operatorname{Var}{t, x, pi}left[X^{u^{*}}(T) ight] & =frac{2}{gamma}[g(t, x, pi)-V(t, x, pi)] & =frac{2}{gamma}left{pi^{ op}[m(t)-M(t)] pi+pi^{ op}[overline{n}(t)-overline{N}(t)]+overline{h}(t)-overline{H}(t) ight} .end{aligned})命题 3.1 对任意固定的(t in[0, T])和(pi in mathbb{R}^{n})，方程 (3.8) 存在唯一解。证 对任意固定的(t in[0, T])和(pi in mathbb{R}^{n})，令(egin{aligned}f(p, pi):= & (c-alpha) e^{r{0}(T-t)}+gamma sigma_{0}left(pi^{ op} sigma_{s} ho I_{n × 1}-p sigma_{0} ight) e^{2 r_{0}(T-t)}

　　& -int_{0}^{infty}left(y e^{r_{0}(T-t)}+gamma p y^{2} e^{2 r_{0}(T-t)} ight) v( d y) .end{aligned})(f(p, pi))关于p连续可导，且(frac{partial f(p, pi)}{partial p}=-gamma sigma_{0}^{2} e^{2 r_{0}(T-t)}-int_{0}^{infty} gamma y^{2} e^{2 r_{0}(T-t)} v( d y)<0 .)对于给定的(pi in mathbb{R}^{n})，有(lim {p downarrow-infty} f(p, pi)=+infty)和(lim {p uparrow+infty} f(p, pi)=-infty)。因此，由连续函数的介值定理知方程 (3.8) 存在唯一解。均衡策略满足的方程 (3.8)，(3.9)，(A10)，(A11) 和 (A12) 是高度非线性的，一般来说，很难通过求解这些方程得到均衡策略的 (半) 解析表达式。接下来我们将关注一些特殊情况，得到均衡策略的相对具体的表达式，以便于后续的数值分析。推论 3.1 当单位风险过程中没有跳跃时，即满足(d R(t)=alpha d t+sigma{0} ~d W{0}(t))，均衡策略(u_{1}^{}(t))(left{egin{array}{l}p_{1}^{}(t)=left[frac{(c-alpha) e^{-r_{0}(T-t)}+gamma sigma_{0} pi(t)^{ op} sigma_{s} ho I_{n × 1}}{gamma sigma_{0}^{2}} ight] vee 0,

　　varphi_{1}^{}(t)=Lambda^{-1}left(2 M_{1}(t) pi(t)+overline{N}{1}(t) ight) e^{-r{0}(T-t)},end{array} ight.)并且最优投资份额(pi_{1}^{}(t))满足以下二阶微分方程

　　(left{egin{array}{l}

　　pi_{1}^{}(t)''+left(2 e^{-r_{0}(T-t)} Lambda^{-1} M_{1}(t)-r_{0} E_{n × n}-k(t) ight) pi_{1}^{}(t)'

　　+left(-k(t)'-2 e^{-r_{0}(T-t)} Lambda^{-1} M_{1}(v) k(t)+r_{0} k(t) ight) pi_{1}^{}(t) +Lambda^{-1}left(mu+gamma p_{1}^{}(t) sigma_{0} sigma_{s} ho I_{n × 1} ight)=0_{n × 1},

　　pi_{1}^{}(T)'=0_{n × 1},end{array} ight.)这里的(M_{1}(t))是微分方程 (A20) 的解，(ar{N}{1}(t))是微分方程 (A21) 的解 (其中(p{1}(t))换为(p_{1}^{}(t)))，(k(t)=2 e^{-r_{0}(T-t)} Lambda^{-1} M_{1}(t))。且均衡值函数为

　　(V_{1}(t, x, pi)=e^{r_{0}(T-t)} x+pi^{ op} M_{1}(t) pi+pi^{ op} overline{N}{1}(t)+overline{H}{1}(t))上式中(ar{H}{1}(t))是微分方程 (A22) 的解 (其中(p{1}(t))换为(p_{1}^{}(t)))。证 见附录 A.2。推论 3.2 当保险市场和金融市场独立时，即( ho=0_{n ×n})，此时均衡策略(u_{2}^{}(t))满足

　　(left{egin{array}{l}

　　(c-alpha) e^{r_{0}(T-t)}-gamma sigma_{0}^{2} p_{2}^{}(t) e^{2 r_{0}(T-t)} -int_{0}^{infty}left(y e^{r_{0}(T-t)}+gamma p_{2}^{}(t) y^{2} e^{2 r_{0}(T-t)} ight) v( d y)=0,

　　varphi_{2}^{}(t)=Lambda^{-1}left(2 M_{2}(t) pi(t)+N_{2}(t) ight) e^{-r_{0}(T-t)},end{array} ight.)其中(M_{2}(t))和(N_{2}(t))分别是微分方程 (A31) 和 (A32) 的解，且 (3.17) 式中有关(p_{2}^{}(t))的方程存在唯一解。由(varphi_{2}^{}(t))的表达式可得(pi_{2}^{}(t)=e^{int_{0}^{t} 2 e^{-r_{0}(T-s)} Lambda^{-1} M_{2}(s) d s}left(pi_{2}(0)+int_{0}^{t} e^{-int_{0}^{s} 2 e^{-r_{0}(T-u)} Lambda^{-1} M_{2}(u) d u} e^{-r_{0}(T-s)} Lambda^{-1} N_{2}(s) d s ight) .)相应的均衡值函数为

　　(V_{2}(t, x, pi)=x e^{r_{0}(T-t)}+pi^{ op} M_{2}(t) pi+pi^{ op} N_{2}(t)+H_{2}(t))其中(H_{2}(t))满足的微分方程为 (A33)。证 见附录 A.3。

　　4 数值分析

　　本节首先在单位风险过程没有跳跃的情况下分析了市场相关系数( ho)和交易成本水平(Lambda)对均衡策略的影响，然后在金融市场和保险市场不相关的情况下分析了交易成本水平对投资策略及有效前沿的影响。在接下来的数值算例中，我们考虑风险市场中只存在一种风险资产。本节基本参数的默认取值如下：(gamma=0.5)，(alpha=0.8)，(r_{0}=0.05)，(mu=0.2)，(t=0)，(T=1)，(sigma_{s}=0.2)，(c=1.5)，(sigma_{0}=1)。

　　4.1 不带跳跃

　　在推论 3.1 中，我们得到了在不带跳跃的情况下，保险公司投资份额(pi_{1}^{}(t))满足的二阶微分方程，若给定终端时刻投资份额(pi_{1}(T)=5)，此时可以使用龙格 - 库塔方法对(pi_{1}^{}(t))进行数值求解。描述了交易成本水平(Lambda)对均衡投资策略和均衡风险控制策略的影响。随着时间的推移，保险公司对风险资产的投资逐渐增加，而投资增长率逐渐降低。在任意给定的时刻t，(pi_{1}^{}(t))关于交易成本水平(Lambda)递增。这是因为交易成本水平越高，交易大量的风险资产会产生高额的交易成本，这会降低保险公司的投资收益。因此，保险公司会降低自身的投资增长率。所以，当交易成本水平提高时，为了达到终端时刻给定的风险资产份额，保险公司会持有更多的风险资产。

　　显示对于任意给定的时刻，(p_{1}^{}(t))关于交易成本水平递减。也就是说，当交易成本水平提高时，保险公司承担的保单数量会减少。这是因为交易成本水平的提高使得保险公司的投资收益降低，此时保险公司会减少保单数量以降低保险风险。展示了市场相关系数( ho)对均衡投资策略和均衡风险控制策略的影响。 表明了对于任意给定的时刻t，(pi_{1}^{}(t))关于相关系数( ho)递增。相关系数越大意味着系统风险越大，这会导致保险公司降低投资增长率以规避风险。因此，随着相关系数的增大，保险公司需要持有更多的风险资产以达到终端时刻给定的风险资产份额，这与文献 [19] 中的结果是一致的。

　　当( ho<0)时，(p_{1}^{}(t))随时间递增;当( ho>0)时，(p_{1}^{*}(t))随时间递减。并且( ho=-0.5)和( ho=-0.8)所对应的两条曲线交于一点，记为(t_{1})。当(tt_{1})时，结果则相反。在(T-t=1)(即(t=0))时，文献 [19] 的结果表明，最优风险控制策略随相关系数的增大先递减再递增。而在本文中，在(t=0)时，均衡风险控制策略随相关系数的增大先递增再递减，与文献 [19] 中的结果是相反的。

　　4.2 保险市场与金融市场

　　独立我们运用推论 3.2 中的结果进行数值模拟。此时，假设单位风险过程满足(d R(t)=alpha d t+sigma_{0} d W_{0}(t)+d sum_{i=1}^{N(t)} Y_{i})其中({N(t)}{t>0}) 是强度为 (lambda{0}>0) 的齐次泊松过程，({Y_{i}}{i=1,2,cdots}) 是独立同分布的随机变量序列，并且假设 (Y{i}) 服从参数为 (lambda_{Y}) 的指数分布。基本参数设置为：(lambda_{0}=1)，(lambda_{Y}=1)，(pi_{2}(0)=0)。描述了交易成本水平 (Lambda) 对均衡投资策略的影响。在给定初始风险资产投资份额为 0 的情况下，交易成本水平越高，保险公司的投资增长率会越低。这是因为较高的交易成本水平会导致保险公司的投资收益下降，因此，在任意时刻 t，保险公司对风险资产的投资会越少。 展示了交易成本水平 (Lambda) 对均值 - 方差有效前沿的影响。

　　可以发现随着交易成本水平的增大，有效前沿会降低。这是因为交易成本水平越高，保险公司的交易损失越大，投资收益会随之降低。因此，当风险水平相同时，交易成本水平越高，保险公司获得的期望收益会越低。也就是说，当终端财富方差相同时，交易成本水平越大，终端财富期望值越小。

　　5 结论

　　该文将交易成本和市场相关性同时引入到保险公司的最优风险控制与投资问题中。在动态均值 - 方差优化目标下，运用扩展的 HJB 方程进行求解，并在特殊情况下给出了均衡策略和相应值函数的显式表达式。最后通过数值算例分别在单位风险过程没有跳跃和无市场相关性这两种情况下进行了灵敏性分析。结果表明，随着交易成本水平和市场相关系数的增加，由于交易损失和系统风险的增大，资产增速会放缓。而且，当风险水平相同时，交易成本水平越高，保险公司获得的期望收益会越低。此外，在实际中进行投资时往往会有各种限制，比如卖空限制，所以后续也可以考虑带投资限制的情况。本文中参数均假设为确定性函数或常数，考虑到背景风险，在后续研究中，可以研究更一般的随机参数情形，比如随机利率、随机波动率等。

王彦凯;彭幸春,武汉理工大学理学院,202405