改进的PNC方法及其在非线性偏微分方程多解问题中的应用

来源：计算数学杂志2022年第1期北京时间：

作者：刘嘉诚, 陈先进, 段雅丽, 李昭祥

单位：1 中国科学技术大学数学科学学院, 合肥 230026;2 上海师范大学数理学院, 上海 200234

摘要：2017年，李昭祥等提出了一种偏牛顿-校正法（Partial Newton-Correction Method，简记为PNC方法），并利用它成功地计算出了三类非线性偏微分方程的多重不稳定解.本文在PNC方法的基础上，提出并发展了一种改进的PNC方法.首先，利用Nehari流形\mathcal{N}与零平凡解的可分离性，建立并证明了\mathcal{N}的某特殊子流形\mathcal{M}上的全局分离定理及其推广（即局部分离定理）.全局分离定理只跟非线性偏微分算子或相应的非线性泛函本身有关，而与具体的计算方法无关.对一些典型的非线性偏微分方程多解问题（比如，Henon方程问题），该全局分离定理的分离条件，经验证是成立的.另一个方面，通过修改或补充原辅助变换的定义，去掉了原辅助变换的奇异性；接着建立并证明了某些非线性偏微分方程问题的新未知解与该非线性偏微分算子零核空间的密切关系；在证明中，去掉了在原奇异变换下所需的标准收敛（standard convergence）假设.最后，计算实例与数值结果验证了改进的PNC方法的可行性和有效性；同时表明子流形\mathcal{M}与已知解的可分离性是PNC方法和本文新方法能成功找到多解的关键.

关键词：非线性偏微分方程,多解,偏牛顿-校正法,Nehari流形,L-\bot映射(选择)

基金资助：国家自然科学基金（11871043，11972121，12171322），上海市科技计划（编号：20JC1414200）和中国科学院吴文俊重点实验室（中国科学技术大学）资助