频率增强高阶ReLU-KAN求解高波数Helmholtz方程

来源：计算数学杂志2025年第4期北京时间：

作者：张浩然, 季霞, 胡东豪

单位：北京理工大学数学与统计学院, 北京 100081

摘要：高波数Helmholtz方程的传统数值方法求解存在计算精度与效率之间的固有矛盾. 本文提出频率增强高阶ReLU-KAN(FE-HRKAN), 在现有高阶ReLU-KAN (HRKAN)框架中引入可学习的动态频率适配机制, 将输入特征扩展为原始变量与参数化高频振荡特征的组合. 本文证明了HRKAN的频谱限制以及FE-HRKAN 的高频表达能力扩展, 确保FE-HRKAN在保持HRKAN原有性能的同时增强高频振荡表达能力. 实验表明: 在函数逼近任务中, FE-HRKAN逼近高频振荡函数的L2相对误差较HRKAN 降低2 个数量级, 同时逼近非振荡函数的L2相对误差降低34%. 在高波数Helmholtz 方程求解中, FE-HRKAN在波数范围5~1000 内均获得10-3~10-4量级的L2相对误差, 在高波数情形下相比HRKAN降低3~4个量级.

关键词：Helmholtz方程,高波数问题,FE-HRKAN,物理信息KAN

基金资助：北京自然科学基金(Z200003, Z210001)和国家自然科学基金(12371389, 12171036)资助.